互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

［証］

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．

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　４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならない．

［証］

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

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　　ａ＝７ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋２　→　ａ^2＝４　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋３　→　ａ^2＝２　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋４　→　ａ^2＝２　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋５　→　ａ^2＝４　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋６　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　７）

　したがって，ａ^2＋ｂ^2を７で割ったときの余りは０，１，２，３，４，５，６のいずれにもなることが示されました．

　同様に，ａ^2−ｂ^2を７で割ったときの余りも０，１，２，３，４，５，６のいずれにもなることが示されました．

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