【１】ミンコフスキーの体積公式

　ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影であるから，ｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．ｖiは辺に沿ったベクトルである．したがって，この体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．すなわち，（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味している．なお，このベクトル配置は１次従属になることもあり，その場合，ある項はゼロになるから（ｍ，ｎ）個以下の平行体に分解できることになる．

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【２】要は

［１］２次行列式は平行四辺形の符号付き面積を表す．

［２］３次行列式は平行六面体の符号付き体積を表す．

［３］ｎ次行列式は平行２ｎ面体の符号付き体積を表す．

　ミンコフスキーの体積公式は，要するに平行多面体の平行２ｎ面体（n-parallelepiped）分解に他ならないのである．

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