２つのベクトルａ↑，ｂ↑を基底とする平行体（平行四辺形）の面積は，外積は

　　ａ↑×ｂ↑

３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑を基底とする平行体（平行六面体）の体積は，スカラー三重積

　　（ａ↑×ｂ↑）・ｃ↑

すなわち，外積ａ↑×ｂ↑とベクトルｃ↑の内積で与えられます．

　｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂとすれば，平行四辺形の面積は，

　　Ｓ＝ａｂｓｉｎθ

ですから，

　　Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）

　　　　＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑｜

　同様に，平行六面体の体積は

　　Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑　　ａ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑　　ｂ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｃ↑・ａ↑　　ｃ↑・ｂ↑　　ｃ↑・ｃ↑｜

で与えられます．

　これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．

　また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．

　　｜Ｓ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3｜　　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜１　ｘ4　ｙ4　ｚ4｜

　原点が含まれるときは，

　　｜Ｓ｜＝｜ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

のように展開されます．

　なお，これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形面積，四面体の体積は，

　　Ｓ’＝Ｓ／２

　　Ｖ’＝Ｖ／６

　また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，

　　２^2（２！）^2Ｓ’^2＝｜０　　ａ^2　ｂ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ａ^2　０　　ｃ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ｂ^2　ｃ^2　０　　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜１　　１　　１　　０｜

　　２^3（３！）^2Ｖ’^2＝｜０　　ａ^2　ｂ^2　ｃ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ａ^2　０　　ｄ^2　ｅ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ｂ^2　ｄ^2　０　　ｆ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜ｃ^2　ｅ^2　ｆ^2　０　　１｜

　　　　　　　　　　　　　｜１　　１　　１　　１　　０｜

となります．

　前者はヘロンの公式にほかなりませんが，ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

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［補］正５胞体と五角形

　４次元空間の単体（５胞体）の体積は係数１／２４を除いて行列式

　　２４｜Ｖ｜＝｜１　　１　　１　　１　　１　｜

　　　　　　　　｜ｘ11　ｘ21　ｘ31　ｘ41　ｘ51｜

　　　　　　　　｜ｘ12　ｘ22　ｘ32　ｘ42　ｘ52｜

　　　　　　　　｜ｘ13　ｘ23　ｘ33　ｘ43　ｘ53｜

　　　　　　　　｜ｘ14　ｘ24　ｘ34　ｘ44　ｘ54｜

で表されます．

　ここで，右辺の第ｉ列から第ｉ＋１列を引く操作をｘｉ＝１，２，３，４の順に繰り返すと

　　２４｜Ｖ｜＝｜ｘ11−ｘ21　ｘ21−ｘ31　ｘ31−ｘ41　ｘ41−ｘ51｜

　　　　　　　　｜ｘ12−ｘ22　ｘ22−ｘ32　ｘ32−ｘ42　ｘ42−ｘ52｜

　　　　　　　　｜ｘ13−ｘ23　ｘ23−ｘ33　ｘ33−ｘ43　ｘ43−ｘ53｜

　　　　　　　　｜ｘ14−ｘ24　ｘ24−ｘ34　ｘ34−ｘ44　ｘ44−ｘ54｜

　この転置行列を右からかけると

　　２４^2Ｖ^2＝｜Σ（ｘik−ｘi+1k）（ｘjk−ｘj+1k）｜

　　　　　　　＝｜ａi↑・ａj↑｜

すなわち，グラミアンで与えられます．

　さらにここで正５胞体（各辺の長さを１，各内角をθ）とすると，

　　ａi↑・ａi↑＝１，ａi↑・ａi+1↑＝ｃｏｓ（π−θ）＝−ｃｏｓθ

後者をｘとおくと，ｘ＋ｙ＝−１／２なるｘ，ｙについて

　　２４^2Ｖ^2＝｜１　ｘ　ｙ　ｙ｜

　　　　　　　　｜ｘ　１　ｘ　ｙ｜

　　　　　　　　｜ｙ　ｘ　１　ｘ｜

　　　　　　　　｜ｙ　ｙ　ｘ　１｜

となります．

　この行列式はｘ，ｙについて対称式であり，

　　ｘ^4−２ｘ^3ｙ−ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4＋４ｘ^2ｙ＋４ｘｙ^2−３ｘ^2−３ｙ^2＋１

と展開されます．これが

　　（ｘ^2−３ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ＋ｙ−１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

　さらに，黄金比：τ＝（√５＋１）／２，τ^(-1)＝（√５−１）／２を用いると

　　（τｘ−τ^(-1)ｙ−１）（τ^(-1)ｘ−τ^(-1)ｙ＋１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

と因数分解できます．これは計算機による数式処理の初歩の演習問題といえるでしょう．

　この正５胞体が３次元に退化する条件は

　　Ｖ＝０，ｘ＋ｙ＝−１／２

を解くことにより，

　　ｘ＝（√５−１）／４，−（√５＋１）／４

すなわち，

　　θ＝１０８°（正五角形）または３６°（星形五角形）

となり，３次元を通り越して一挙に２次元まで退化してしまいます．

　すなわち，正５胞体は平面の正五角形と星形五角形の中間の４次元図形と解釈できるというわけです．

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