【３】体積と表面積

　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，ｎが小さいとき，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）となることはご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　ｎ次元単位超球の体積Ｖnとすると，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積は球殻部分の極限値（δ→０）と考えられ

　　ｄ／ｄｒ（ｖnｒ^n）＝ｎＶnｒ^(n-1)

となりますから，ｎ次元単位超球の表面積を表面積Ｓn-1とすると，

　　Ｓn-1＝ｎＶn

　ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

　　Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

　　ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

　　ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．

　係数はπ^mの有理数倍で，１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Ｖn＝２，π，４π／３，π^2／２，８π^2／１５，π^3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

　そして，ｎ→∞のとき，

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

　　Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

　しかもそれは直径を１辺とする超立方体と比べて無視できるほど小さくなります．ｎ次元単位超立方体[-1,1]^n（体積２^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に大部分のデータは超球外に位置することになります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，１次元から１４次元までの具体的数字は次の通りです．

ｎ Ｖn ｎ Ｖn ｎ Ｖn

１ 2 ６ 5.168 11 1.884

２ 3.142 ７ 4.725 12 1.335

３ 4.189 ８ 4.059 13 0.911

４ 4.934 ９ 3.299 14 0.599

５ 5.264 10 2.550

　このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は次元とともに急激に減少します．（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）幾何学では５，６次元を境にして本質的に様子が変わっていることが少なくないのですが，このことはその原因の一端をほのめかしていると考えられます．

　超球の体積はｎ＝５のとき最大（８π^2／１５）であり，それに対して表面積ｎｖnが最大（１６π^3／１５）になるのはｎ＝７のときです．どちらもｎが大きくなると急激に０に近づきます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝