【２】境界付近への測度集中

　 ｎ次元単位超球の境界付近に幅δの球殻を設けて，ここに測度の８０％が含まれるようなδを求めてみることにします．すなわち

　　Ｐ｛ｘ＜Ｖn：１−δ≦ｒ≦δ｝＝０．８

　半径１と１−δの間の薄皮部分の体積は

　　ｖn(1-(1-δ)^n)

ですから，δは

　　ｖn(1-(1-δ)^n)=0.8ｖn

と解くと簡単に求めることができて

　　δ=1-0.2^(1/n)

ｎ　　　　　　δ

2 .552786

3 .415196

4 .33126

5 .27522

6 .235275

7 .205403

8 .182235

9 .163749

10 .14866

20 .0773191

30 .0522342

40 .0394372

50 .0316762

60 .0264674

70 .0227296

80 .019917

90 .0177237

100 .0159655

　この計算が示していることは，（直観に反して）ｎが大きいとき超球の体積Ｖnの大部分はその境界付近に集中するというものです．いわゆる薄皮まんじゅう状態なのですが，ｎ＝２，３などの場合から類推すると非常に奇妙に感じられます．

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