【１】ｎ次元単位超球の体積

　ここでは，ｎ次元単位超球の体積を２通りの方法で求めてみます．

［１］半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^n，一方，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されます．

　すなわち，ｎ次元単位超球のｘn＝０での切り口の体積はｖn-1，ｘn＝tでの切り口の体積は

　　ｖn-1(1-t^2)^((n-1)/2)

となります．ｎ＝３ではそれぞれ，

　　ｖ2＝π，ｖ[y]=π{(1-x^2)^(1/2)}^2

です．

　これを-1≦t≦1で積分すればｖnを求めることができます．

　　ｖn／ｖn-1＝２∫(0,1)(1-t^2)^((n-1)/2)dt＝Ｂ(1/2，(n+1)/2)

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［２］ガウス積分

I=∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√π

をｎ次元に拡張し，

　　I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn

を考えると∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=π^(1/2)のｎ重積分より，直ちに

　　I=π^(n/2)

を得ることができます．

　ｎ次元ガウス積分を別の方法，すなわち，直交座標でなく極座標で求めてみましょう．ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^(n-1)ですから，

　　I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^(n-1)dr

　　 =ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr

z=r^2と変数変換するとdz=2rdrより

　　I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

　　 =Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)

　　 =ＶnΓ(n/2+1)

したがって，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．

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