半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nですから，体積を１とするｒの値はＶn^(-1/n)で与えられます．また，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されますから，体積が１の超球の切り口の体積は

　　Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

となります．

ｎ　　　 Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

２　　　1.128

３　　　1.209

４　　　1.265

５　　　1.307

６　　　1.339

７　　　1.365

８　　　1.387

９　　　1.405

10　　　1.420

11　　　1.434

12　　　1.445

13　　　1.456

14　　　1.465

　体積１の１０次元超球について，その実際の値を計算してみると１．４２０３・・・となり，体積１の１０次元単位立方体の超平面による切り口の体積√２よりも大きくなります．ここで，半径ｒをほんの少し縮小した超球を考えてみると，単位立方体より断面積は大きいが体積は小さい例を作れることがわかります．

　ところで，３次元空間内の２つの点対称凸体Ｋ，Ｋ’に関して，凸体の中心を通る任意の平面について，断面積の不等式

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

が成り立つならば，体積についても不等式

　　Ｖ（Ｋ）＞Ｖ（Ｋ’）

が成り立つことが知られています（ビューズマンの定理，1953年）．

　すなわち，１０次元のボールの例は，

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

であっても

　　Ｖ（Ｋ）＜Ｖ（Ｋ’）

という高次元におけるビューズマンの反例になっているのです．

　さて，１０次元以上の一般次元であれば，このような反例が具体的に与えられるのでしょうか？

　　Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

とおくと，

　　Ａn/Ａn-2＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)/Ｖn-3・Ｖn-2^(1/(n-2)-1)

ですから，ｎ→∞のとき，

　　Ａn/Ａn-2→(Ｖn/Ｖn-2)^(1/n)=(2π/n)^(1/n)→１

これより，次元を高くすれば断面積はある極限値に収束しそうです．ｎ→∞のとき，Ｖn-1→０，Ｖn→０ですが，Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)の極限値を求めてみることにしましょう．

　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!より，

　　Ａn＝{(n/2)!}^(1-1/n)/{(n-1)/2}!

これを有名なスターリングの近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）

を使って書き直してみましょう．簡約化すると

　　Ａn→(n/2)^(n/2)/{(n-1)/2}^(n/2)

　　　　＝{n/(n-1)}^(n/2)

　　　　＝{(1+1/(n-1))^(n-1)}^(1/2)*{n/(n-1)}^(1/2)

　　　　→e^(1/2)

したがって，極限値√ｅ＝１．６４８７・・・に収束することがわかります．

　　√２＜√ｅ＜√３

ですから，これは高次元ではボールの反例がいくらでも作れることを意味しています．

　逆に，９次元以下ではボールの反例は作られませんが，それ以外のビューズマンの反例については，５次元以上で存在することが証明されています（1992年）．しかし，４次元で反例が作れるかどうかは，現在，未解決の問題として残されています．

　古代ローマの叙事詩「アエネイス」に次のような物語があります． 『ディドーはフェニキアの王女であったが，弟のピグマリオンが彼女の夫を殺して王位に就いたため，臣下たちとともに脱出，地中海に面したアフリカの地に漂着した．その土地の支配者は，一頭の牛の皮を拡げただけの土地を売ってもよいとしぶしぶ約束した．ディドーはこの条件を最大限に活かすために，牛の皮を細く切り３ミリほどのひもにして，地中海の海岸線から半円を描き土地を囲んだ．こうしてカルタゴが建国され，ディドーはカルタゴの女王になった．』

　平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形（面積が一定で周の最小な図形）は円であるという事実はよく知られています．そのことは

　　Ｌ^2≧４πＡ という不等式（等周不等式）で表現されます．等号は円のときだけ成立します．

　これは周の長さが一定という付帯条件を課して，面積を最大にするという変分問題の１種であって「等周問題」と呼ばれますが，変分法の起源とみなされている問題で，その答が円であることは古代ギリシアの時代からよく知られています．ところが，厳密な証明が与えられたのは１９世紀になってからのことで，シュタイナーやシュワルツ，フロベニウスによるものなど，いくつかの証明があります．直観に反して，厳密な証明は簡単ではないのです．

　同様に，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとするとＳ^3≧３６πＶ^2が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．立体図形のＳ^3／Ｖ^2は平面図形のＬ^2／Ａの相当していて，等周比あるいは等周定数と呼ばれます．コラム「幾何の問題（Part�U）」では，等周不等式

　　Ｌ^2≧４πＡ，Ｓ^3≧３６πＶ^2

をどんな次元にも適用できるように公式化しましたが，それによると

　　ｎ次元表面積^n≧ｎ次元体積^(n-1)ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)

等号は超球のときに限ります．

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