【１】等周不等式

　平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形（面積が一定で周の最小な図形）は円であるという事実はよく知られています．そのことはＬ2 ≧４πＡという不等式で表現されます．等号は円のときだけ成立します．

　同様に，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとするとＳ3 ≧３６πＶ2 が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　そこで，等周不等式

　　Ｌ2 ≧４πＡ

　　Ｓ3 ≧３６πＶ2

をどんな次元にも適用できるように公式化してみましょう．

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　さて，立体図形のＳ3 ／Ｖ2 は平面図形のＬ2 ／Ａの相当していて，等周比あるいは等周定数と呼ばれます．半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となりますから，等周比を無次元化するために，

　　ｎ次元等周比＝表面積^n／体積^(n-1)

と定義すると，

　　ｎ次元等周比≧ｎ^nＶn＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)（＝Ｃn）

を得ることができます．等号は超球のときに限ります．

　とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π

になること，すなわち，

　　Ｌ2 ≧４πＡ

　　Ｓ3 ≧３６πＶ2

が証明されました．

　以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

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