ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．また，ｎ次元単位球の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．そして，不思議なことに，単位球の体積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

ｎ　　　 Ｖn

１　　　2

２　　　3.14

３　　　4.19

４　　　4.93

５　　　5.263

６　　　5.167

７　　　4.72

８　　　4.06

９　　　3.30

10　　　2.55

　また，このことから，ｎ次元超立方体[-1,1]n（体積2^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなるのです．

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