【１】ｎ次元単位超球の体積Ｖnと表面積Ｓn-1

　ガウス積分をｎ次元に拡張し，

I=int(-∞,∞)exp(-x12+x22+･･･+xn2)dx1dx2･･･dxn

を考えるとint(-∞,∞)exp(-x2)dx=π^(1/2)のｎ重積分より，直ちにI=π^(n/2)を得ることができます．

　ｎ次元ガウス積分を別の方法，すなわち，直交座標でなく極座標で求めてみましょう．球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x12+x22+･･･+xn2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．

　ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r2)をとり，表面積はｎＶnｒ^(n-1)ですから，

I=int(0,∞)exp(-r2)ｎＶnｒ^(n-1)dr

=ｎＶnint(0,∞)r^(n-1)exp(-r2)dr

z=r2と変数変換するとdz=2rdrより

I=ｎＶn/2int(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2)　　　　n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)

=ＶnΓ(n/2+1)

したがって，

Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．

１次元　　２次元　　３次元　　４次元　　５次元　　６次元

　２　　　 3.14　　　4.19　　　4.93　　　5.263　　 5.167

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

ｎが奇数であればＶn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

ｎが偶数であればＶn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．

ｎ→∞のとき

Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．また，このことから，ｎ次元単位超立方体[-1,1]^nにおいて，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．

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