いまから２０００年以上も前の紀元前３世紀，アルキメデスは円に内接・外接する正９６角形による計算から

　　３・１０／７１＜π＜３・１／７

　　２２３／７１＜π＜２２／７

　　３．１４０８４＜π＜３．１４２８５８

より，π＝３．１４という近似値を求めています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

π^2＜12はわかったが、π^2〜10くらいにならないだろうか？

Σ１／ｎ^2＜２を示すことができましたが，さらによい評価を与えてみたいと思います．

(証)　　Σ１／ｎ^2＜Σ１／（ｎ^2−１／４）

１／ｎ^2＜１／（ｎ^2−１／２^2）＝１／（ｎ−１／２）−１／（ｎ＋１／２）

＝Σ（２／（２ｎ−１）−２／（２ｎ＋１））

　これを１／２^2項以降で使うと

１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋・・・

＜１／１^2＋１／（２−１／２）−１／（２＋１／２）＋１／（３−１／２）−（１／３＋１／２）＋・・・

＜１／１^2＋１／（２−１／２）＝５／３＜１．６７

　これを１／５^2項以降で使うと

　１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋・・・

＜１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／（５−１／２）−１／（５＋１／２）＋１／（６−１／２）−（１／６＋１／２）＋・・・

＜１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／（５−１／２）＝７９／４８＝１．６４５８３・・・＜１．６５

これで、π^2＜9.8596を示すことができた

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝