いまから２０００年以上も前の紀元前３世紀，アルキメデスは円に内接・外接する正９６角形による計算から

　　３・１０／７１＜π＜３・１／７

　　２２３／７１＜π＜２２／７

　　３．１４０８４＜π＜３．１４２８５８

より，π＝３．１４という近似値を求めています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

オイラーは連分数に基づいて、ｅの近似数列

3，19/7，193/71

を発見しています。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

また、22/7,355/113はπの、19/7,193/71はeの非常によい有理数近似になります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

π^2の近似値を求めてみたい

１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2/6

（証）ｎ次部分和をＰn とすると，

Ｐn ＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋・・・＋１／ｎ^2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ＝２−１／ｎ＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

π^2＜12

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝