１９７６年，ａｒｃｔａｎ（ｘ）の展開公式よりも格段に優れた新しい公式が発表されました．サラミンとブレントは独立に楕円積分の計算と関係したガウス・ルジャンドルの算術幾何平均法という強力な武器を提唱しました．

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【１】算術幾何平均

　２数ａ0 ，ｂ0 をとり，それらの算術平均ａ1 ＝（ａ0 ＋ｂ0 ）／２，幾何平均ｂ1 ＝√ａ0 ｂ0 を計算する．次に，ａ1 ，ｂ1 の平均を計算し，ａ2 ＝（ａ1 ＋ｂ1 ）／２，ｂ2 ＝√ａ1 ｂ1 とする．すると，ａn とｂn は急速に同じ極限に到達する．

　　ｂ0≦ｂ1≦・・・≦ｂn≦ａn≦・・・≦ａ1≦ａ0

これを算術幾何平均とよぶ．

　　ｃn＝√（ａn^2−ｂn^2）

と定義すると

　　ｃ1＝（ａ0−ｂ0）／２≦√（ａ^2−ｂ^2）＝ｃ0／２

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　０≦ｃn≦ｃ0／２^n

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【２】ガウスの公式

　　π＝２｛ＡＧＭ（１，１／√２）｝^2／（１−Σ２^nｃn^2）

　　ＡＧＭ（１，１／√２）＝０．８４７２１３０８４７

より，ガウスは

　　ＡＧＭ（１，１／√２）＝π／２・１／Ｋ（１／√２）

一般に

　　ＡＧＭ（１，ｍ）＝π／２・１／Ｋ（√１−ｍ^2）

であることを見抜き，その証明を与えた．

　　１／Ｋ（√ｋ）＝２／π・ＡＧＭ（１，√１−ｋ^2）

　　Ｅ（√ｋ）／Ｋ（√ｋ）＝１−Σ２^n-1ｃn^2

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