［２］パーシバル，ベラード（１９９７年）

　　π＝１／２^6Σ（−１）^n／２^10n（２^5／（４ｎ＋１）−１／（４ｎ＋３）＋２^8／（１０ｎ＋１）−２^6／（１０ｎ＋３）−２^2／（１０ｎ＋５）−２^2／（１０ｎ＋７）＋１／（１０ｎ＋９））

の導出を試みたい．

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　０＜ｔ＜１のとき，

　　１／（１＋ｔ^20）＝Σｔ^20n＝１−ｔ^20＋ｔ^40−・・・

　　ｔ^k-1／（１＋ｔ^20）＝ｔ^k-1Σｔ^20n＝ｔ^k-1（１−ｔ^20＋ｔ^40−・・・）

　また，　上式を０から１／√２まで積分する

　　Ｉk＝∫(0,1/√2)ｔ^k-1／（１＋ｔ^20）ｄｔ

＝∫(0,1/√2)Σ（−１）^nｔ^k+20n-1ｄｔ

＝Σ∫(0,1/√2)（−１）^nｔ^k+20n-1ｄｔ

＝Σ（−１）^nｔ^k+20n／（ｋ＋２０ｎ）

＝１／２^k/2Σ（−１）^n／２^10n・１／（２０ｎ＋ｋ）

　　Ｓ（ａ，ｂ）＝Σ（−１）^n／２^10n・１／（ａｎ＋ｂ）

とおくと，この公式は

　１／２^6Σ（−１）^n／２^10n（２^5／（４ｎ＋１）−１／（４ｎ＋３）＋２^8／（１０ｎ＋１）−２^6／（１０ｎ＋３）−２^2／（１０ｎ＋５）−２^2／（１０ｎ＋７）＋１／（１０ｎ＋９））

＝２^-1５Ｓ（２０，５）−２^-6５Ｓ（２０，１５）＋２^3Ｓ（２０，２）−２Ｓ（２０，６）−２^-3Ｓ（２０，１０）−２^-3Ｓ（２０，１４）＋２^-5Ｓ（２０，１８）

＝∫(0,1/√2)（１０√２ｔ^4−１０√２ｔ^14＋１６ｔ−１６ｔ^5−４ｔ^9−１６ｔ^13＋１６ｔ^17）／（１＋ｔ^20）ｄｔ

　この不定積分も結構面倒な形になる．次回の宿題としたい．

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