［２］パーシバル，ベラード（１９９７年）

　　π＝１／２^6Σ（−１）^n／２^10n（２^5／（４ｎ＋１）−１／（４ｎ＋３）＋２^8／（１０ｎ＋１）−２^6／（１０ｎ＋３）−２^2／（１０ｎ＋５）−２^2／（１０ｎ＋７）＋１／（１０ｎ＋９））

の前に

［３］π^2＝９／８Σ１／６４^n（１６／（６ｎ＋１）＋８／（６ｎ＋２）−２／（６ｎ＋４）−１／（６ｎ＋５））

の導出を試みたい．定積分がπ^2になる原始関数は何だろうか？

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　０＜ｔ＜１のとき，

　　１／（１−ｔ^12）＝Σｔ^12n＝１＋ｔ^12＋ｔ^24＋・・・

　　ｔ^k-1／（１−ｔ^12）＝ｔ^k-1Σｔ^12n＝ｔ^k-1（１＋ｔ^12＋ｔ^24＋・・・）

　また，　上式を０から１／√２まで積分する

　　Ｉk＝∫(0,1/√2)ｔ^k-1／（１−ｔ^12）ｄｔ

＝∫(0,1/√2)Σｔ^k+12n-1ｄｔ

＝Σ∫(0,1/√2)ｔ^k+12n-1ｄｔ

＝Σｔ^k+12n／（ｋ＋１２ｎ）

＝１／２^k/2Σ（１／６４^n・１／（１２ｎ＋ｋ））

　　Ｓ（ａ，ｂ）＝Σ（１／６４^n・１／（ａｎ＋ｂ））

とおくと，この公式は

　Σ１／６４^n｛１６／（６ｎ＋１）＋８／（６ｎ＋２）−２／（６ｎ＋４）−１／（６ｎ＋５）｝

＝３２Ｓ（１２，２）＋１６Ｓ（１２，４）−４Ｓ（１２，８）−２Ｓ（１２，１０）

＝∫(0,1/√2)（６４ｔ＋６４ｔ^3−６４ｔ^7−６４ｔ^9）／（１−ｔ^12）ｄｔ

＝６４∫(0,1/√2)（ｔ＋ｔ^3−ｔ^7−ｔ^9）／（１−ｔ^12）ｄｔ

＝６４∫(0,1/√2)（ｔ＋ｔ^3）／（１＋ｔ^6）ｄｔ

の定数倍である．

　この不定積分は公式集を参照することにしたのであるが，結構面倒な形になる．次回の宿題としたい．

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