ＢＢＰ公式

［１］π＝Σ１／１６^n（４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６））

の導出にならって，ＡＷ公式

［２］アダムチック，ワゴン（１９９７年）

　　π＝Σ（−１）^n／４^n（２／（４ｎ＋１）＋２／（４ｎ＋２）＋１／（４ｎ＋３））

の導出を試みたい．

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　０＜ｔ＜１のとき，

　　１／（１＋ｔ^4）＝Σｔ^4＝１−ｔ^4＋ｔ^8＋・・・

　　ｔ^k-1／（１＋ｔ^4）＝ｔ^k-1Σｔ^4＝ｔ^k-1（１−ｔ^4＋ｔ^8＋・・・）

　また，　上式を０から１／√２まで積分する

　　Ｉk＝∫(0,1/√2)（−１）^nｔ^k-1／（１＋ｔ^4）ｄｔ

＝∫(0,1/√2)Σ（−１）^nｔ^k+4n-1ｄｔ

＝Σ∫(0,1/√2)（−１）^nｔ^k+4n-1ｄｔ

＝Σ（−１）^nｔ^k+4n／（ｋ＋４ｎ）

＝１／２^k/2Σ（（−１）^n／４^n・１／（４ｎ＋ｋ））

　　Ｓ（ａ，ｂ）＝Σ（（−１）^n／４^n・１／（ａｎ＋ｂ））

とおいて，Ｓ（ａ，ｂ）＝πとなる組み合わせを考える．

　ＡＷ公式は

　　２Ｓ（４，１）＋２Ｓ（４，２）＋Ｓ（４，３）

＝Σ１／４^n｛２／（４ｎ＋１）＋２／（４ｎ＋２）＋１／（４ｎ＋３）｝

＝∫(0,1/√2)（２√２＋４ｔ＋２√２ｔ^2）／（１＋ｔ^4）ｄｔ

＝２√２∫(0,1/√2)（１＋√２ｔ＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4）ｄｔ

＝２√２∫(0,1/√2)１／（１−√２ｔ＋ｔ^2）ｄｔ

＝２√２∫(0,1/√2)１／（ｔ−１／√２）^2＋１／２）ｄｔ

＝４√２∫(0,1/√2)１／（√２ｔ−１）^2＋１）ｄｔ

＝４∫(0,1)１／（ｘ−１）^2＋１）ｄｘ

＝４ａｒｃｔａｎ（ｘ−１）｜(0,1)

＝π

となるというわけである．

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