πの級数公式には１／πに収束するものもある．たとえば，ラマヌジャンの１／π公式（１９１４年）

　　１／π＝２√２／９９^2Σ（４ｋ）（１１０３＋２６３９０ｋ）／（４^k９９^kｋ！）^4

は長い間証明されなかった異色の式である．収束は速い．

　ラマヌジャンの式に刺激されて，チュドノフスキーの式

　　１／π＝Σ（−１）^n（６ｎ）！（１６３０９６９０８＋６５４１６８１６０８ｎ）／（３ｎ）！（ｎ！）^3（２６２５３７４１２６２０７６８０００）^n+1/2

が考案されている．

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　これらの公式には

　中央二項係数：（２ｎ）！／（ｎ！）^2

　中央三項係数：（３ｎ）！／（ｎ！）^3

　中央ｋ項係数：（ｋｎ）！／（ｎ！）^k

が登場する．

　ところで，次のようなゼータ関数に帰着する無限級数（n=1~∞）が知られている．２項係数nＣkを(n,k)と書くことにすると

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）

さらに，

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）

と予想されているが，この式は証明されてはいない．

　ラマヌジャンの式やチュドノフスキーの式の証明の方針はわからないが，超幾何関数を経由したものになるのではないかと思われる．もし，ご存知の方があればご教示願いたい．

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