【１】ＢＢＰ公式

　１９９６年にベイリー，ボールウェイン，プラウフにより，ＢＢＰ公式が見いだされた．

　　π＝Σ１／１６^n（４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６））

はコンピュータのために発見された異色の式である．

　この公式の不思議な点は円周率を１６進法で表すとき，任意の桁（たとえば１０００桁目）を直接計算できるという点である．自己修正できるとでもいうべきか，たとえば，５２７桁目で間違えようと，その後の計算は無効にならず，１０００桁目は正しい．

　円周率πの計算（や巨大な素数の発見）はコンピュータシステムの信頼性や処理速度といった性能をテストするのに最適ということであるが，ＢＢＰ公式は１６進法に関係していて，ＢＢＰ公式を使うと任意の位置にある数を非常に効率よく求めることができる．たとえば，πを２進数展開したとき１０００兆桁目の数字は何か？

　ｎ番目の桁をそれ以前のｎ−１番目の桁を計算することなしに直接計算できるのだが，求めるのは小数部分だけであるから整数部分はどんどんカットしながら計算していけばよいので，計算が簡単になるのである．

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【２】ＢＢＰ公式の導出

　（その２７）の繰り返しになるが，少し丁寧に記してみたい．

　０＜ｔ＜１のとき，

　　１／（１−ｔ^8）＝Σｔ^8＝１＋ｔ^8＋ｔ^16＋・・・

　　ｔ^k-1／（１−ｔ^8）＝ｔ^k-1Σｔ^8＝ｔ^k-1（１＋ｔ^8＋ｔ^16＋・・・）

　また，　上式を０から１／√２まで積分する

　　Ｉk＝∫(0,1/√2)ｔ^k-1／（１−ｔ^8）ｄｔ

＝∫(0,1/√2)Σｔ^k+8n-1ｄｔ

＝Σ∫(0,1/√2)Σｔ^k+8n-1ｄｔ

＝Σｔ^k+8n／（ｋ＋８ｎ）

＝１／２^k/2Σ（１／１６^n・１／（８ｎ＋ｋ）

　　Ｓ（ａ，ｂ）＝Σ（１／１６^n・１／（ａｎ＋ｂ）

とおいて，Ｓ（ａ，ｂ）＝πとなる組み合わせを考える．

　ＢＢＰ公式は

　　４Ｓ（８，１）−２Ｓ（８，４）−Ｓ（８，５）−Ｓ（８，６）

＝Σ１／１６^n｛４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６）｝

＝∫(0,1/√2)（４√２−８ｔ^3−４√２ｔ^4−８ｔ^8）／（１−ｔ^8）ｄｔ

＝∫(0,1)１６（ｘ^5＋ｘ^4＋２ｘ^3−４）／（ｘ^8−１６）ｄｘ

＝∫(0,1)１６（ｘ−１）／（ｘ^4−２ｘ^3＋４ｘ−４）ｄｘ

＝∫(0,1)１６（ｘ−１）／（ｘ^2−２）（ｘ^2−２ｘ−２）ｄｘ

＝４∫(0,1)ｘ／（ｘ^2−２）ｄｘ−４∫(0,1)（ｘ−１）／（ｘ^2−２ｘ＋２）ｄｘ＋４∫(0,1)１／（ｘ^2−２ｘ−２）ｄｘ

　　∫ｘ／（ｘ^2−２）ｄｘ＝１／２ｌｏｇ（ｘ^2−２）

　　∫（ｘ−１）／（ｘ^2−２ｘ＋２）ｄｘ＝１／２ｌｏｇ（ｘ^2−２ｘ＋２）

　　∫１／（ｘ^2−２ｘ−２）ｄｘ＝ａｒｃｔａｎ（ｘ−１）

より

　　Σ１／１６^n｛４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６）｝＝π

となるというわけである．

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