ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項まで使って，πを表現する方法はステルマーの定理より次の５つしかないことが知られています．

　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／１）

　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

　　［参］中村滋「円周率，歴史と数理」共立出版

にその証明がわかりやすく書かれていたので，紹介します．

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【１】補題

［１］ｚをガウス整数，ｕを単数とする．このとき，

　　　ｚ^nが整数←→ｚ＝ｕ（１＋ｉ）^k

と書ける．

［２］ｔａｎ（ｋπ／ｎ）が有理数となるのは０，±１だけである．ｎは１，２，４のいずれかである．

［３］ｘ^2＋１＝ｙ^k，ｘ^2＋１＝２ｙ^kについて，

ａ）ｘ^2＋１＝ｙ^k，ｋ＞１は解をもたない．

ｂ）ｘ^2＋１＝２ｙ^kはｋが奇数の素因数を含むときだけ，解をもたない．

ｃ）ｘ^2＋１＝２ｙ^k，ｋ＝４の整数解は（２３９，１３）だけである．

ｄ）可能なｋは１，２，４だけである．

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【２】証明

　ｃ^2＋１＝２^rＡ^q，ｄ^2＋１＝Ａ^p，ｑは奇数と見比べると

［１］ｃ^2＋１＝Ａ，ｄ^2＋１＝２Ａ

［２］ｃ^2＋１＝Ａ，ｄ^2＋１＝２Ａ^2

［３］ｃ^2＋１＝２Ａ，ｄ^2＋１＝２Ａ^2

［４］ｃ^2＋１＝Ａ，ｄ^2＋１＝２Ａ^4

［５］ｃ^2＋１＝２Ａ，ｄ^2＋１＝２Ａ^4

に限られる．

［１］ｃ＝±２，ｄ＝±３，Ａ＝５

　　（２＋ｉ）（３＋ｉ）＝５（１＋ｉ）

　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

［２］ｃ＝±２，ｄ＝±７，Ａ＝５

　　（２＋ｉ）^2（７−ｉ）＝２５（１＋ｉ）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）

［３］ｃ＝±３，ｄ＝±３，Ａ＝５

　　（３＋ｉ）（７＋ｉ）＝７０（１＋ｉ）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）

［４］存在しない

［５］ｃ＝±５，ｄ＝２３９

　　（５＋ｉ）^4（２３９−ｉ）＝１１４２４４（１＋ｉ）

　π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

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