ａｒｃｔａｎ１＝ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＋ａｒｃｔａｎ（１／ｍ）

を満足させるｎ，ｍを求めてみると

　　１＝（１／ｎ＋１／ｍ）／（１−１／ｎｍ）

　　ｍ＝（ｎ＋１）／（ｎ−１）

ｎ＝２，ｍ＝３を代入すると

ａｒｃｔａｎ（１／１）＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

は傾き１／２と１／３の坂の角度が傾き１／１すなわちちょうど４５°になることを示しています．

　π／４＝ａｒｃｔａｎ１

　　　　＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

　　　　＝（１／２−１／３・２^3＋１／５・２^5−１／７・２^7＋・・・）　　　　　＋（１／３−１／３・３^3＋１／５・３^5−１／７・３^7＋・・・）

この級数はグレゴリー・ライプニッツ級数ほどは悪くありませんが，それでもなお良い値がでるまでの計算回数は多くなります．

　オイラーは

ａｒｃｔａｎ（１／１）＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）

ａｒｃｔａｎ（１／１）＝５ａｒｃｔａｎ（１／７）＋２ａｒｃｔａｎ（１／１８）−２ａｒｃｔａｎ（１／５７）

なども発見しています．

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【１】マーチン級数

　πを計算するための無限級数のうちでもっともポピュラーなものはニュートンと同時代のマーチンによって発見された次のような式です（１７０６年）．

　π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

＝４（１／５−１／３・５^3＋１／５・５^5−１／７・５^7＋・・・）　　　　　−（１／２３９−１／３・２３９^3＋１／５・２３９^5−・・・）

　第２項の級数は非常に収束が速く，第１項の級数も１／５^2＝０．０４ぐらいの比で次々に小さくなりますから，数値計算に十分使えます．マーチンの級数の計算誤差は４／（２ｎ＋３）・（１／５）^2n+3ぐらいで，マーチン自身はこの公式のよってπの値を１００桁ほど求めました．計算機のない時代のことですから，当然手計算であって神業ともいうべき話です．

　この種のａｒｃｔａｎ（ｘ）の展開公式はかなり多く知られていて，分数を組み合わせて１をつくるパズルのようなものですが，項数が少なく分母が大きいものほど有効です．その計算量は本質的にはＯ（ｎ^2）になります．

　マーチンの級数はａｒｃｔａｎを２つ使ってπを表現する公式の中で最良のものです．マーチンの級数は収束が極めて急速で，コンピュータの時代に移った後もたくさんの人に利用され，はじめてコンピュータを用いてπの値を計算したノイマンはマーチンの公式を使って７０時間かかって２０３７桁まで正しい値を求めています（１９４９年）．

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【２】πのａｒｃｔａｎ型公式

　πのａｒｃｔａｎ型公式は数多く知られています（無数に存在する）．

［１］２項公式（４通り）

　π／４＝arctan(1/2)+arctan(1/3) (Euler)

　π／４＝2arctan(1/2)-arctan(1/7) (Vega)

　π／４＝2arctan(1/3)+arctan(1/7) (Clausen)

　π／４＝4arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin)

［２］３項公式（１０５通り）

　π／４＝arctan(1/2)+arctan(1/5)+arctan(1/8) (Dahse)

　π／４＝3arctan(1/4)+arctan(1/20)+arctan(1/1985) (Gauss)

　π／４＝4arctan(1/5)-arctan(1/40)+arctan(1/99) (Rutherford)

　π／４＝4arctan(1/5)-2arctan(1/408)+arctan(1/1393) (Vega)

　π／４＝12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239) (Gauss)

　π／４＝8arctan(1/10)-arctan(1/239)-4arctan(1/515) (klingenstierna)

　π／４＝6arctan(1/8)+2arctan(1/57)+arctan(1/239) (Shanks,Stφrmer)

［３］４項公式

　ステルマー（Stφrmer）は３項公式を研究していますが，さらにａｒｃｔａｎを４つ使ってπを表現する公式

　π／４＝44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943) (Stφrmer)

も発見しました（１８９６年）．

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【３】ステルマーの定理

　ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項まで使って，πを表現する方法はステルマーの定理より次の５つしかありません．

　π＝４ａｒｃｔａｎ（１／１）

　π＝４ａｒｃｔａｎ（１／２）＋４ａｒｃｔａｎ（１／３）

　π＝８ａｒｃｔａｎ（１／２）−４ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π＝８ａｒｃｔａｎ（１／３）＋４ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π＝１６ａｒｃｔａｎ（１／５）−４ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

　ここでは，任意のａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項に分解することを考えてみます．

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／ｐ）＋ａｒｃｔａｎ（１／ｑ）

　公式

ａｒｃｔａｎａ＋ａｒｃｔａｎｂ＝ａｒｃｔａｎ（（ａ＋ｂ）／（１−ａｂ））

を使うと，

　　１／ｎ＝（１／ｐ＋１／ｑ）／（１−１／ｐｑ）

　　ｎ＝（ｐｑ−１）／（ｐ＋ｑ）

　　ｑ＝（ｎｐ＋１）／（ｐ−ｎ）

　ここで，ｐ＝ｎ＋ｍとおくと

　　ｑ＝ｎ＋（ｎ^2＋１）／ｍ

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（ｍ／（ｎ^2＋ｍｎ＋１））

したがって，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になることがわかります．

　ｎ^2＋１の最大素因数ｐが２ｎ以上となる正整数ｎをステルマー数と呼びます．ｎ＝３のとき，３^2＋１＝１０＝２・５→ｐ＝５ですから，３はステルマー数ではありません．同様に，

　ｎ＝７　　　　７^2＋１＝５０＝２・５^2　→　ｐ＝５

　ｎ＝１８　　　１８^2＋１＝３２５＝５^2・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝５７　　　５７^2＋１＝３２５０→ｐ＝２・５^3・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝２３９　　２３９^2＋１＝２・１３^4→ｐ＝１３

もステルマー数ではありません．

　一方，ｎ＝２のとき，２^2＋１＝５→ｐ＝５ですから，２はステルマー数です．最初の３０個のステルマー数は，

　　ｎ＝１，２，４，５，６，９，１０，１１，１２，１４，１５，１６，１９，２０，２２，２３，２４，２５，２６，２７，２８，２９，３３，３４，３５，３６，３７，３９，４０，４２

　ｎ^2＋１＝ｋｍのときだけ

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｋ））が成り立つのですが，ステルマーはどんなａｒｃｔａｎ（ｘ）もｎがステルマー数になっているａｒｃｔａｎ（１／ｎ）の和として一意に表されることを発見しました．

［補］ｍ＝ｎ^2＋１のとき，

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝Σａｒｃｔａｎ１／｛（ｎ^2＋１）ｋ^2−（ｎ−１）^2ｋ−（ｎ−１）｝

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