オイラーはどうやってζ（ｓ）を発見したのでしょうか．

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　オイラーは，三角関数ｓｉｎｘの展開式が

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

のようになることを知っていました．

　また，ｓｉｎｘはｘ＝ｋπ（ｋ：整数）で０になります．すなわち，方程式ｓｉｎｘ＝０にはｘ＝０，ｘ＝±π，ｘ＝±２π，・・・のように無限個の解が存在することになります．

　したがって，ｓｉｎｘを因数分解して無限積表示すると

ｓｉｎｘ＝ｘΠ（１−ｘ／ｋπ）

＝・・・（１＋ｘ／２π）（１＋ｘ／π）ｘ（１−ｘ／π）（１−ｘ／２π）・・・

＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2 ／２^2π^2）（１−ｘ^2／３^2π^2）・・・

＝ｘΠ（１−ｘ^2 ／ｋ^2 π^2 ）

となります．

　このようにして，オイラーはｓｉｎｘのベキ級数表示と無限積表示という異なる２通りの表示を得たのでした．そして，この無限積を展開して，無限次多項式の係数と比較します．

　たとえば，ｘ^3の係数を比較することにより

　　ζ（２）＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2 ／６

が得られます．ｘ^5 ，ｘ^7 ，・・・の係数同士を等号で結ぶと

　　ζ（４）＝π^4 ／９０，ζ（６）＝π^6 ／９４５，・・・

も同様に得られます．

　ｃｏｓｘ＝１−ｘ^2 ／２！＋ｘ^4 ／４！−ｘ^6 ／６！＋・・・

についても同じような方法を適用し，

ｃｏｓｘ＝Π（１−４ｘ^2／（２ｋ−１）^2π^2 ）

　これより，

　　１／１^2＋１／３^2＋１／５^2 ＋１／７^2 ＋・・・＝π^2 ／８

　オイラーが得た値：ζ（２）＝Σ１／ｎ^2 ＝π^2 ／６はこの式から次のようにして求まります。

１＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・

＝（１＋１／２^2 ＋１／４^2 ＋・・・）（１＋１／３^2 ＋１／５^2 ＋・・・）＝１／（１−１／４）・π^2 ／８

＝π^2 ／６

さらに，２（１／１^2 ＋１／３^2 ＋１／５^2 ＋１／７^2 ＋・・・）−（１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・）

＝１／１^2 −１／２^2 ＋１／３^2 −１／４^2 ＋・・・＝π^2 ／１２

を得ることができます．

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