Stirlingの公式の大体の形は（ｎ！／ｎ^n+1/2・ｅ（−ｎ）がｎ→∞のときに一定の極限値をもつ）はいろいろな方法で導かれますが，その極限値を正しく√（２π）とするにはWallisの公式が不可欠のようです．実際，これまでの証明はすべてWallisの公式（ないしそれと同等の結果）を活用しております．

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【１】ウォリスの公式

　　1/2B(1/2,(n+1)/2)=integral(0-π/2)(sinθ)^ndθ

この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式

　　Ｓn=(n-1)/nＳn-2

が得られますから，

n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2

n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)

これより，

lim1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)

変形するとウォリスの公式

(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)

が得られる．

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【２】ウォリスの公式（その２）

　ウォリスの公式は

　　π／２＝（２・２／１・３）（４・４）／（３・５）（６・６）／（５・７）・・・（２ｎ・２ｎ）／（（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））・・・

と記すとわかりやすい．この公式の不思議なところは有理数の無限積→πになっている点である．

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【３】ヴィエトの公式

　まず，任意のｘに対して，無限積公式

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

も示しておこう．

（証明）

　　ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝８ｓｉｎｘ／８ｃｏｓｘ／８ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　　・・・・・

　　　　　　＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２

　書き直すと

　　ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n

　ここで，ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１

であるから，ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

が得られる．この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

において，ｘ＝π／２とおくと，

　　２／π＝ｃｏｓπ／２^2ｃｏｓπ／２^3ｃｏｓπ／２^4・・・

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【４】ヴィエトの公式（その２）

　半角の公式

　　ｃｏｓｘ／２＝√（１＋ｃｏｓｘ）／２

また，

　　ｃｏｓπ／２^2＝１／√２

　　ｃｏｓπ／２^3＝√（１＋ｃｏｓπ／２^2）／２＝√（１／２＋１／２√１／２）

　　ｃｏｓπ／２^4＝√（１＋ｃｏｓπ／２^3）／２＝√（１／２＋１／２（１／２＋１／２√１／２））

以下同様の計算を続けることによって，

　　２／π＝√（１／２）√（１／２＋１／２√１／２）√（１／２＋１／２（１／２＋１／２√１／２））・・・

が得られる．

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