ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項まで使って，πを表現する方法はステルマーの定理より次の５つしかないことが知られています．

　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／１）

　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

（その８）ではその証明について考えてみました．

　ステルマーはノルウェー（オスロ大学）の数学者．数論に興味を持っていましたが，オーロラの研究もした人です．セルバーグはリーマン予想にいままでで一番近づいた人と評されますが，オスロ大学で数学を勉強していた頃，ラマヌジャンの数学について紹介したステルマーの文章を読んで影響を受けたようです．

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【１】マーチン級数

　πを計算するための無限級数のうちでもっともポピュラーなものはニュートンと同時代のイギリスの天文学者マーチンによって発見された次のような式です（１７０６年）．

　π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

＝４（１／５−１／３・５^3＋１／５・５^5−１／７・５^7＋・・・）　　　　　−（１／２３９−１／３・２３９^3＋１／５・２３９^5−・・・）

　実際の数値計算では，項数が少なく分母が大きいものほど有効ですから，マーチンの級数はａｒｃｔａｎを２つ使ってπを表現する公式の中で最良のものであることがお分かりいただけると思います．

　マーチンの級数は収束が極めて急速で，コンピュータの時代に移った後もたくさんの人に利用され，はじめてコンピュータを用いてπの値を計算したノイマンはマーチンの公式を使って７０時間かかって２０３７桁まで正しい値を求めています（１９４９年）．

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【２】ステルマー級数

　πのａｒｃｔａｎ型公式は数多く知られています．

　　［参］猪口和則「πの公式をデザインする」新風舎

［１］２項公式

　π／４＝arctan(1/2)+arctan(1/3) (Euler)

　π／４＝2arctan(1/2)-arctan(1/7) (Vega)

　π／４＝2arctan(1/3)+arctan(1/7) (Clausen)

　π／４＝4arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin)

［２］３項公式

　π／４＝arctan(1/2)+arctan(1/5)+arctan(1/8) (Dahse)

　π／４＝3arctan(1/4)+arctan(1/20)+arctan(1/1985) (Gauss)

　π／４＝4arctan(1/5)-arctan(1/40)+arctan(1/99) (Rutherford)

　π／４＝4arctan(1/5)-2arctan(1/408)+arctan(1/1393) (Vega)

　π／４＝12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239) (Gauss)

　π／４＝8arctan(1/10)-arctan(1/239)-4arctan(1/515) (klingenstierna)

　π／４＝6arctan(1/8)+2arctan(1/57)+arctan(1/239) (Shanks,Stφrmer)

［３］４項公式

　ステルマー（Stφrmer）は３項公式を研究していますが，さらにａｒｃｔａｎを４つ使ってπを表現する公式

　π／４＝44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943) (Stφrmer)

も発見しました（１８９６年）．

　２００２年，金田康正氏のグループは４項のステルマー級数公式を用いて，円周率πを１２４１億桁計算しています．

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