√２＝１＋（√２−１）

　　　　＝１＋１／（√２＋１）

　　　　＝１＋１／（２＋（√２−１））

　　　　＝１＋１／（２＋１／（√２＋１））

　　　　＝１＋１／（２＋１／（２＋（√２−１）））

　　　　＝１＋１／（２＋１／（２＋１／（√２＋１）））

これを永久に繰り返すことができます．

　　√２＝［１：２，２，２，・・・］

　この連分数を途中で打ち切ったものを考えると

　　１＋１／２＝３／２＞√２

　　１＋１／（２＋１／２）＝１＋２／５＝７／５＜√２

　　１＋１／（２＋１／（２＋１／２））＝１＋１／（２＋２／５）＝１＋５／１２＝１７／１２＞√２

となって

　　１７／１２＞√２

が得られます．

　これを繰り返し続けると，√２の最良近似分数列

　　1/1,3/2,7/5,17/12,41/29，99/70,239/169,577/408,･･･

が得られます．

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【１】√２の近似値とペル数列

　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．

　√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると

　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）

なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

このとき，±１は交互に繰り返し現れます．

　√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．

　　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・

　すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると

　　Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１

となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．

　　ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

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