天文学者のケプラーは，幾何学には２つの宝石があるという言葉を残している．ひとつはピタゴラスの定理，もうひとつは黄金比である．

　（その３）のπの近似値は，

　　（１７／１２）^2＝２８９／１４４＞２８８＞１４４＝２

　　１７／１２＞√２

を利用して，半径１７の円を４等分した扇型に１辺の長さ１２（対角線の長さ１２√２）の正方形をはめ込む幾何学的近所法によっても，別解を与えることができる．

　その際，（５，１２，１３）の三角形が現れるが，ピタゴラスの定理により直角三角形である．（３，４，５）に次いでよく知られた組み合わせであろう．

　中学生が開平法を利用できるとは思えませんが，それでも

　　√２＞１．４１

　　√３＞１．７３

などは知っているはずです．

　驚かれるかもしれませんが，アルキメデスは

　　２６５／１５３＜√３＜１３５１／７８０

と見積もっていたそうです．でも，どうやって？

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【１】バビロニアの方法（ヘロンの方法）

　ａの平方根を求める反復式があります．ｘ0≒√ａから始めて

　　ｘn+1＝（ｘn＋ａ／ｘn）／２

を繰り返します．

　たとえば，ａ＝３のとき，ｘ0＝２から始めると，

　　ｘ1＝（２＋３／２）／２＝７／４＝１．７５

　　ｘ2＝（７／４＋１２／７）／２＝９７／５６＝１．７３２１

たったこれだけで√３の最初の４桁まで正しい値を求めることができる．

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