スポーツに役立つ数学の定理といったら、ピタゴラスの定理と円周角の定理に違いない。野球の塁間を直角に結ぶのに3・4・5を使ったり、ラグビーのコンバージョンキックを決めたり・・・

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　直角三角形では、斜辺をｃ、他の二辺をａ，ｂとすると、ピタゴラスの定理「ａ2 ＋ｂ2 ＝ｃ2 」が成り立つことはよく知られています。特に、三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます。３元２次の不定方程式ａ2 ＋ｂ2 ＝ｃ2 の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが、（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です。

　ピタゴラス三角形は無限にあり、その一般形にはいくつかの変形がありますが、ｍ，ｎを整数、ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2 −ｎ^2 ），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2 ＋ｎ^2 ）

が形も簡単で広く用いられています。

　　｛（ｎ^2 −１）／２｝^2 ＋ｎ^2 ＝｛（ｎ^2 ＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2 −１）^2 ＋（２ｎ）^2 ＝（ｎ^2 ＋１）^2

のように文字を一つだけ使ったのでは、ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが、二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2 −ｎ^2 ）2 ＋（２ｍｎ）^2 ＝（ｍ^2 ＋ｎ^2 ）^2

では全部を表すことができます。逆に、この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります。

　４０００年も前の紀元前二千年頃に、エジプトでは（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７）などのピタゴラス三角形が知られていたことがパピルスに記録されています。また、同じ頃のバビロニアの粘土板プリンプトン３２２にはピタゴラスの定理が成り立つような３数の組が１５組刻まれているのですが、その中のきわめつけが（１２７０９，１３５００，１８５４１）です。この数値は試行錯誤で得られるような代物ではなく、バビロニア人たちはすでに一般的なピタゴラスの定理を知っていたのではないかと想像されます。

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