１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．

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【１】３種類の菱形による非周期的平面充填

　凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．凧と矢よろも２種類の菱形（７２°−１０８°，３６°−１４４°）で代替した方がわかりやすいが，パターン全体にわたって正十角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示している．

　２種類の菱形は（２π／５−３π／５，π／５−４π／５）は正十角形の中心角π／５から導かれたものである．もし７回回転対称にしたければ正十四角形の中心角π／７から導かれた３種類の菱形（π／７−６π／７，２π／７−５π／７，３π／７−４π／７）を使うとよいことがわかる．

　パターン全体にわたって正十四角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示すことになり，ペンローズ・タイル貼りに見た目がよく似たものができる．

　もちろん，８回回転対称，９回回転対称，さらに高次のペンローズ・タイル貼りも同様の方法で作ることができる．また，ペンロ＾ズ・タイルの３次元版が黄金菱形６面体による，非周期的空間充填である．　

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【２】黄金菱形多面体による非周期的空間充填

　ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．

　黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．

　これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．

　したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．

　２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができることは前述したとおりですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

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［補］ミンコフスキー和

　ミンコフスキー和の計算結果についてまとめておきたい．辺の長さを１に規格化した体積を掲げる．

　菱形３０面体：　４τ｛（５＋√５）／２｝^1/2

　菱形２０面体：　２τ｛（５＋√５）／２｝^1/2

　菱形１２面体（第２種）：　４τ／５｛（５＋√５）／２｝^1/2

　扁長菱形６面体：　２／５｛（５＋√５）／２｝^1/2

　扁平菱形６面体：　２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2

　以下，前節の言明「黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．」について，体積計算して正しいことを確認しておきたい．

　｛（５＋√５）／２｝^1/2を省略して書くと，

　　Ａ6＋Ｏ6＝２／５（１＋１／τ）＝２τ／５

　　２（Ａ6＋Ｏ6）＝４τ／５＝Ｂ12

　　５（Ａ6＋Ｏ6）＝２τ＝Ｆ20

　　１０（Ａ6＋Ｏ6）＝４τ＝Ｋ30

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［補］５回対称性を示す結晶

　３次元空間の敷き詰め＜結晶＞についてみていきましょう．結晶学の常識では，原子が周期的に配列した結晶物質では２重，３重，４重，６重の対称性しか許されないというのが鉄則・大前提になっていました．なぜ５重，７重，８重などの対称が結晶に存在し得ないかは正五角形は平面を埋めつくすことができないことから容易に理解されるところです．３次元では５回対称軸をもつ正五角形の役割を正１２面体や正２０面体が果たしますが，正五角形が平面充填形でないのと同様に正１２面体・正２０面体は空間充填形ではありません．

　ところが，１９８４年に５重の対称性を示す物質（アルミニウムとマンガンの人工合金）がアメリカのシェヒトマンによって発見され，結晶学の根底は揺るがされ，この大前提は覆されました．それはあたかも誰かが５角形の雪の結晶を発見したような事件であったのです．この物質はペンローズのタイル貼りと密接に関係していて，ペンローズが始めた５重の対称性をもつ敷きつめを３次元空間に一般化したものであり，ある規則性をもちながら周期配列をしないことから，準周期的結晶，あるいは簡単に準結晶と呼ばれます．

　その当時，結晶とアモルファスの両方の物質の状態を共有しそのどちらでもない新しい状態があると思っている人はごく少なかったのですが，この準結晶は両方の性質をもっています．準結晶は物質の性質を変化させ，多くの場合，物質を硬化させます．

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［補］同じ形の多角形のタイルで床を敷き詰める場合を考えると分かりますが，それは５角形や７角形またはそれ以上の辺数の多角形ではあり得ない−−−と思われていたのですが，実際に，５回対称性を示すものには黄鉄鉱やフラーレンＣ60などがあります．また，ホウ素の単体の中には変わり種がたくさんあり，正２０面体上にホウ素原子が１２個ずつ結合したものがあるなど，５回対称性が自然界に実在する例が以前から知られていたのですが，それは例外であって，それまで知られていた結晶格子はすべて正四面体，立方体，正八面体から導かれていたのです．

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