【３】非周期的な平面充填（その２）

　２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができることは前述したとおりですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

　一般にｎ次元平行多胞体は１種類（あるいは何種類か）でｎ次元空間を周期的に充填するのですが，それを３次元空間内や２次元平面上に平行投影して適当に隠線処理すると平行多面体や平行多角形による非周期的な充填図形が得られることになります．その際，正１０角形を構成する２種類の菱形で構成される準周期性平面充填をペンローズ・パターンというのですが，それに対して，正８角形を構成する２種類の菱形（正方形を含む）で構成される準周期性平面充填はアンマン・パターンと呼ばれるタイル貼りになっています．

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【４】５回対称性を示す結晶

　平面上の敷き詰めに引き続いて，３次元空間の敷き詰め＜結晶＞についてみていきましょう．結晶学の常識では，原子が周期的に配列した結晶物質では２重，３重，４重，６重の対称性しか許されないというのが鉄則・大前提になっていました．なぜ５重，７重，８重などの対称が結晶に存在し得ないかは正五角形は平面を埋めつくすことができないことから容易に理解されるところです．３次元では５回対称軸をもつ正五角形の役割を正１２面体や正２０面体が果たしますが，正五角形が平面充填形でないのと同様に正１２面体・正２０面体は空間充填形ではありません．

　ところが，１９８４年に５重の対称性を示す物質（アルミニウムとマンガンの人工合金）がアメリカのシェヒトマンによって発見され，結晶学の根底は揺るがされ，この大前提は覆されました．それはあたかも誰かが５角形の雪の結晶を発見したような事件であったのです．この物質はペンローズのタイル貼りと密接に関係していて，ペンローズが始めた５重の対称性をもつ敷きつめを３次元空間に一般化したものであり，ある規則性をもちながら周期配列をしないことから，準周期的結晶，あるいは簡単に準結晶と呼ばれます．

　その当時，結晶とアモルファスの両方の物質の状態を共有しそのどちらでもない新しい状態があると思っている人はごく少なかったのですが，この準結晶は両方の性質をもっています．準結晶は物質の性質を変化させ，多くの場合，物質を硬化させます．

［補］同じ形の多角形のタイルで床を敷き詰める場合を考えると分かりますが，それは５角形や７角形またはそれ以上の辺数の多角形ではあり得ない−−−と思われていたのですが，実際に，５回対称性を示すものには黄鉄鉱やフラーレンＣ60などがあります．また，ホウ素の単体の中には変わり種がたくさんあり，正２０面体上にホウ素原子が１２個ずつ結合したものがあるなど，５回対称性が自然界に実在する例が以前から知られていたのですが，それは例外であって，それまで知られていた結晶格子はすべて正四面体，立方体，正八面体から導かれていたのです．

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