このシリーズでは[2]の中心切断形が[1]になるかどうか調べてみたい。

次に（３，３，４｝（０１００） の中心切断形が｛３，３｝（１１１）になるかどうか調べてみたい。

4次元空間において、｛３，３｝（１１１）は、たとえば,x+y+z+w=10の格子点(あるいはx+y+z+w=6)の格子点として表されると思われる。

あるいは、(x,y,z,w)は

x+y+z+w=0 (mod4)

x=y=z=w　(mod4)

の格子点として表される。たとえば、(1,1,1,-3),(1,1,-3,1),(1,-3,1,1),(-3,1,1,1)

中心切断形を考えるのはこれがよさそうである。

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一方、[2]における、立方体[-n,n}^4の切断面は±(n/2,n/2,n/2,n/2)を通るから

x+y+z+w=±2n

x-y+z+w=±2n

x+y-z+w=±2n

x+y+z-w=±2n

x-y-z+w=±2n

x-y+z-w=±2n

x+y-z-w=±2n

x-y-z-w=±2n

これをｎだけ平行移動させると立方体は [0,2n]^4となり、

x+y+z+w=6n,2n

x-y+z+w=6n,2n

x+y-z+w=6n,2n

x+y+z-w=6n,2n

x-y-z+w=6n,2n

x-y+z-w=6n,2n

x+y-z-w=6n,2n

x-y-z-w=6n,2n

中心断面 x+y+z+w=4n=10はこれらと交わり、交点は

x+z+w=5n,3n

x+y+w=5n,3n

x+y+z=5n,3n

x+w=5n,3n

x+z=5n,3n

x+y=5n,3n

x=5n,3n

(x,y,z,w)は格子点にならないと思われる

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［１］ミンコフスキー結晶

　　（３，３｝（１１１）

　　（３，３，３｝（１１１１）

　　（３，３，３，３｝（１１１１１）

　　（３，３，３，３，３｝（１１１１１１）

　すなわち，正単体系の置換多面体で，ファセット数２（２^n−１）の結晶である．すなわち，２次元では６角形，３次元では切頂八面体，４次元では３０胞体，５次元では６２胞体となる．これらと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体は存在しない．

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［２］ＢＣＣ結晶

　　（３，４｝（１１０）

　　（３，３，４｝（０１００）

　　（３，３，３，４｝（０１１００）

　　（３，３，３，３，４｝（００１０００）

　すなわち，正軸体．立方体系の切頂多面体である．そのファセット数は２^n＋２ｎになるが，３次元では切頂八面体となり［１］と一致，４次元では２４胞体（正２４胞体），５次元では４２胞体となる．ただし，２次元では８角形ではなく４角形となる．３次元ではこれらと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体はあるが，４〜６次元では存在しない．

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