【１】第２種スターリング数

　ここでは，ｎ個の数字を３つのグループＡ，Ｂ，Ｃに分ける方法の総数で，ただし，各グループＡ，Ｂ，Ｃは少なくとも１つの数字を含むものとします．

　もっと一般に，１≦ｋ≦ｎとし，ｎ個の数字をｋ個のグループに分ける方法の総数で，ただし，各グループは少なくとも１つの数字を含むものの数をnＳkとします．

　nＳkは第２種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

　　n+1Ｓk＝nＳk-1＋ｋnＳk

が成り立ちます．

　nＳ1＝１を出発点として

　　nＳ2＝２^n-1−１

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６

　一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

となります．以下，

　　nＳ5＝（５^n−５・４^n＋１０・３^n−１０・２^n＋５）／５！

　　nＳ6＝（６^n−６・５^n＋１５・４^n−２０・３^n＋１５・２^n−６）／６！

と続く．

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【２】原始的平行多面体のｋ次元面数公式

　ｎ個をｋ個の区別のあるコンパートメントに分ける場合の数は

　　nＴk＝Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

　これはすべてのコンパートメントに少なくとも１つは属するように分けるという意味です．包除原理を使って証明することができます．原始的平行多面体のｋ次元面数公式にも出てきます．

　nＳkは第２種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

が成り立ちます．

　　n+1Ｓk＝nＳk-1＋ｋnＳk

　　nＴk＝ｋ！・nＳk

ですから

　　ｋ！・n+1Ｓk＝n+1Ｔk

　　ｋ！・nＳk-1＝ｋnＴk-1

　　ｋ！・nＳk＝nＴk

　　n+1Ｔk＝ｋnＴk-1＋ｋnＴk

　nＴ1＝１を出発点として

　　nＴ2＝２^n−２

　　nＴ3＝３^n−３・２^n＋３

　　nＴ4＝４^n−４・３^n＋６・２^n−４

　　nＴ5＝（５^n−５・４^n＋１０・３^n−１０・２^n＋５）

　　nＴ6＝（６^n−６・５^n＋１５・４^n−２０・３^n＋１５・２^n−６）

　　nＴn＝Σ（−１）^n-jnＣjｊ^n＝｛ｎ！−・・３^nnＣ2・・２^nnＣ2・・nＣ1｝

　原始的平行多面体では

　　ｆ0＝（ｎ＋１）！

　　ｆ1＝ｎ／２・ｆ0

　　ｆn-1＝２（２^n−１）

ですから

　　ｆn-1＝n+1Ｔ2

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［まとめ］パラメータがずれているようである．

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