■高次元結晶の世界(その14)

[2]BCC結晶

  (3,4}(110)

  (3,3,4}(0100)

  (3,3,3,4}(01100)

  (3,3,3,3,4}(001000)

 すなわち,正軸体.立方体系の切頂多面体である.そのファセット数は2^n+2nになるが,3次元では切頂八面体となり[1]と一致,4次元では24胞体(正24胞体),5次元では42胞体となる.ただし,2次元では8角形ではなく4角形となる.3次元ではこれらと同じfベクトルをもつ異なる多胞体はあるが,4〜6次元では存在しない.

===================================

[3]FCC結晶

  (3,4}(010)の双対

  (3,3,4}(0100)の双対

  (3,3,3,4}(01000)の双対

  (3,3,3,3,4}(010000)の双対

 すなわち,正軸体・立方体の中点切頂多面体の双対である.ファセット数は2n(n−1)になる.これらと同じfベクトルをもつ異なる多胞体は存在しない.

===================================

 4次元では

  (3,3,4}(0100)

  (3,4}(0100)の双対

は一致する.

  (3,4}(0100)

の頂点まわりに集まるk次元面数はそれぞれ

  1,8,12,6

であるが,これは

  (3,4}(0100)の双対

のファセットが正八面体(6,1,8)であることを示している.

===================================