空間での等長変換は平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．同様に，４次元結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在するが，５次元では膨大すぎて，そのリストアップはまだ完成していない．

　このなかから，高次元でも普遍的に存在するｎ次元結晶を２種類取り上げたい．それらは体心立方格子型空間充填をもたらす２^n＋２ｎ胞体（以下，ＢＣＣ結晶）とミンコフスキーによって発見された原始的空間充填２（２^n−１）胞体（以下，ミンコフスキー結晶）である．それらの基本計量（ｋ次元面数や体積など）はワイソフ情報を１種の遺伝子として解読することによって計算できる．

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【１】ミンコフスキー結晶

　ｎ次元空間充填では，どの頂点でも最低ｎ＋１個の多面体が出会わなければならない（ルベーグの舗石定理）．すべての頂点でｎ＋１個の多面体が出会う場合，空間充填図形の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの舗石定理）．すなわち，ミンコフスキー結晶は２次元では６角形，３次元では１４面体，４次元では３０胞体，５次元では６２房体となり，この形が力学的にも安定な形と考えられる．

　１４面体である切頂八面体は正方形面を上にして置くと正八面体を切頂した図形にみえるが，正六角形面を上にして置くと正四面体を切頂・切稜した図形になっていることがわかる．同様に，４次元では４次元正単体の切頂・切稜操作により，頂点が切頂八面体，辺が六角柱の３０胞体となる．このように，４次元の空間充填の基本形は３０胞体となるのだが，一般にｎ次元空間のミンコフスキー結晶は正単体を切稜・切頂した頂点数（ｎ＋１）！，ファセット数

　　Σ(k=0~n-1)（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２^(n+1)−２

の図形となる．

　この図形のもうひとつの特徴は単純多面体であること，平行な辺がｎ（ｎ＋１）／２組あることから，ｎ（ｎ＋１）／２次元の立方格子のｎ次元への射影になっていることである．すなわち，切頂八面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていると考えることができる．

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【２】ＢＣＣ結晶

　ミンコフスキー結晶はｎ次元正単体を切稜・切頂することによって得られるが，ＢＣＣ結晶は立方体（あるいは正軸体）を切頂することによって得られる．３次元ＢＣＣ結晶は切頂八面体，４次元ＢＣＣ結晶は正２４胞体となる．

　ＢＣＣ結晶では，頂点周囲で会合する多面体数や次数はｎのパリティに従う．たとえば，次数ｍはｎが奇数のときｍ＝３（ｎ−１）／２，ｎが偶数のときｍ＝ｎ^2／２となる．力学的安定性はミンコフスキー結晶におよばない．

　また，ミンコフスキー結晶では切稜面とｎ−２次元面の切断面を貼りあわせ，その間に切頂面とファセット間が挿入された空間充填図形となるが，ＢＣＣ結晶では，切頂面同士を貼りあわせ，その間にファセット間が挿入されることになる．

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【３】３次元の特殊性

　　２^3＋２・３＝２（２^3−１）＝１４

より，３次元の切頂八面体（１４面体）は，すべての次元を通じて唯一，ＢＣＣ結晶かつミンコフスキー結晶という性質をもつ多面体である．この事実が５種類ある３次元平行多面体の元素数が１であることと密接に関係してくるのである．

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【４】図

　ミンコフスキー結晶｛３，３，３，３，３｝（１，１，１，１，１，１）

　ＢＣＣ結晶｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）

　非結晶｛３，３，３，３，４｝（０，１，０，１，１，０）

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