代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．

　一方，任意のｎに対してｎ元の群は存在し，位数２の群は１つ，位数３の群は１つ，位数４の群は２つある．すると，位数５の群は？，位数６の群は？，・・・という疑問が湧いてくるのは自然な成り行きであろう．

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【１】位数ｎの群の型

　分類はいつでも数学の究極の目標ですが，位数ｎの有限群が（同型を除いて）何通りあるか？−−−これは興味深い問題ですが，完全には解けていない難しい問題です．

　それでも，ｎが小さい場合に何個あるか知られていますので，有限群の型の分類についての結論を先に掲げたいと思います．たとえば，シローの定理を使うと，位数１５＝３・５のとき，同型類の個数１個（Ｚ15）が示せます．

　　ｎ　　群の型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　同型類の個数

　　１　　単位群｛ｅ｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　２　　Ｚ2＝Ｓ2＝Ｄ1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　３　　Ｚ3＝Ａ3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　４　　Ｚ4，Ｄ2＝Ｚ2×Ｚ2　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　５　　Ｚ5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　６　　Ｚ6，Ｄ3＝Ｓ3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　７　　Ｚ7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　８　　Ｚ8，Ｚ4×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，Ｄ4，Ｑ4　　　　　　　　５

　　９　　Ｚ9，Ｚ3×Ｚ3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　10　　Ｚ10，Ｄ5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　11　　Ｚ11　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　12　　Ｚ12，Ｚ6×Ｚ2，Ｄ6＝Ｄ3×Ｚ2，Ａ4，Ｑ6　　　　　　　　５

　　13　　Ｚ13　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　14　　Ｚ14，Ｄ7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　15　　Ｚ15　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　16　　Ｚ16，Ｚ8×Ｚ2，Ｚ4×Ｚ4，Ｚ4×Ｚ2×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，

　　　　　Ｄ8，Ｑ8，Ｚ2×Ｄ4，Ｚ2×Ｑ4など，合計１４個

　　17　　Ｚ17　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

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