［１］２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在する．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．

　この問題は，ロシアのフェドロフとドイツのシェーンフリースによって，まったく別々に解かれた．証明は容易ではないが，ジョン・コンウェイ，ハイディ・バージール，チャイム・グッドマン=シュトラウス「物の対称性（The symmetries of Things）」にはその証明（魔法の定理，Magic Theorem）が示されている．

　その証明の日本語解説を紹介しておきたい．

　　［参］篠田健一「対称性と数学」，日本評論社

　なお，この１７種類は対称変換すべてがスペイン，グラナダのアルハンブラ宮殿にあることはよく知られている．エッシャーはこのムーア人の城を２回にわたって訪問し，インスピレーションを得たという．

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　２次元結晶群，１７種類を非常に細かく分類すれば９１種類の群となる．対称変換群が領域に対して推移的な敷き詰めをイソヘドラル，頂点に対して推移的な敷き詰めをイソゴナル，どの領域も有界である敷き詰めを正規という．［１］平面のイソヘドラルな敷き詰め数は８１種類ある．

［２］平面のイソゴナルな正規敷き詰め数は９１種類ある．このうち３４種類はイソヘドラルで，６３種類は各領域が凸になる．したがって，

［３］平面のイソゴナルかつイソヘドラルな正規敷き詰め数は３４種類ある．

　また，これにあてはまらない合同な図形による平面の敷き詰めが存在するという．これらの日本語解説を紹介しておきたい．

　　［参］藤田伸「装飾パターンの法則」，三元社

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