［１］２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在する．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．

　この問題は，ロシアのフェドロフとドイツのシェーンフリースによって，まったく別々に解かれた．証明は容易ではないが，ジョン・コンウェイ，ハイディ・バージール，チャイム・グッドマン=シュトラウス「物の対称性（The symmetries of Things）」にはその証明が示されている．また，この２００８年に出版された本のなかで，コンウェイ博士は多面体変形操作の一つとしてChamferを定義し，切稜立方体はConway notation(cC)とよばれるようになっているようである．

　なお，この１７種類は対称変換すべてがスペイン，グラナダのアルハンブラ宮殿にあることはよく知られている．エッシャーはこのムーア人の城を２回にわたって訪問し，インスピレーションを得たという．

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［２］空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

［３］４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在する．

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