ベキ級数の大切さは，三角関数，指数関数，対数関数など多くのよく知られた関数がベキ級数に展開されることにあります．たとえば，テイラー展開

ｅｘｐ（ｘ）＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2 ＋・・・

ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2 ＋１／３ｘ^3 −１／４ｘ^4 ＋・・・

ｓｉｎｘ＝ｘ−１／３！ｘ^3 ＋１／５！ｘ^5 −・・・

ｓｉｎｈｘ＝ｘ＋１／３！ｘ^3 ＋１／５！ｘ^5 ＋・・・

ｃｏｓｘ＝１−１／２！ｘ^2 ＋１／４！ｘ^4 −・・・

ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2 ＋１／４！ｘ^4 ＋・・・

ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3 ＋１／５ｘ^5 −１／７ｘ^7 ＋・・・

などがその例です．

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【１】イジング模型

　イジング自身は強磁性の問題を考えるきっかけとして，１次元の模型を考えた．数学的にやさしく取り扱えそうであるから，ここでも格子点が１次元的に並んでいて，ｉ番目の点にはスピン変数σiの原子（分子）があり，

　　σi＝＋１または−１

の２つの値を取る．また，ｉ番目の分子とｉ＋１番目の分子の間には相互作用があり，σi，σi+1がともに＋１またはともに−１であれば相互作用のエネルギーは−Ｕ，一方が＋１他方が−１のときには相互作用のエネルギーは＋Ｕと考えることにする．

　エネルギーの和は

　　Ｅ＝Σ（−Ｕσiσi+1）

また，あらゆる可能な状態｛・・・，σ-1＝±１，σ0＝±１，σ=1＝±１，・・・｝について寄せ集めたものが状態和

　　Ｚ（Ｔ）＝Σｅｘｐ（−Ｅ｛・・・，σ-1＝±１，σ0＝±１，σ=1＝±１，・・・｝／ｋＴ）

　　Ｚ（Ｔ）＝Σｅｘｐ（−Ｅ｛・・・，σ-1＝±１，σ0＝±１，σ=1＝±１，・・・｝／ｋＴ）

である．

　σ0について総和してみる．まず，

　　σi＝＋１または−１

であるから，σ^1＝１であることを使うと

　　（σ-1＋σ+1）^2＝２（１＋σ-1σ+1）

　　（σ-1＋σ+1）^4＝８（１＋σ-1σ+1）

　　（σ-1＋σ+1）^2n＝２^2n-1（１＋σ-1σ+1）

となるから，Ｕ／ｋＴ＝Ｕ’とおくと

　　Ｚ（Ｔ）＝Σｅｘｐ（σ-1＋σ+1）σ0Ｕ’）＝２＋（ｃｏｓｈ（２Ｕ’）−１）（１＋σ-1σ+1）＝（ｃｏｓｈ（２Ｕ’）＋１）＋（ｃｏｓｈ（２Ｕ’）−１）σ-1σ+1

になる．

　以上のことを２次元格子について考えたのが（その１）の結果であるが，超次元こうしについて考えたものがイジング模型というわけである．

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