【１】二項係数の偶奇性

（Ｑ）（ａ＋ｂ）^nの二項展開の係数は，ｎが２^k−１の形であるとき，そのときに限りすべて奇数となることを証明せよ．

（Ａ）（ａ＋ｂ），（ａ＋ｂ）^2，・・・，（ａ＋ｂ）^n-1に対して成り立っていると仮定して，（ａ＋ｂ）^nに対しても成り立つことを証明する．

　両端の１を除くｎ−１個の二項係数は

　　ｎ／１＝ｎ，ｎ（ｎ−１）／１・２，・・・，ｎ（ｎ−１）・・・１／１・２・・・（ｎ−１）＝ｎ

　これらがすべて奇数であるための必要十分条件は

［１］両端のｎが奇数であること

［２］残りの数の分母、分子から奇数を取り去って作られる数が奇数であることである．

　ｎ＝２ｍ＋１とおけば，これらの数は

　　ｍ／１＝ｍ，ｍ（ｍ−１）／１・２，・・・，ｍ（ｍ−１）・・・１／１・２・・・（ｍ−１）＝ｍ

で表される．ｍ＜ｎであるから，このｍ−１個の数はｍが２^k-1−１の形であるとき，そのときに限りすべて奇数となる．

　　ｎ＝２ｍ＋１＝２（２^k-1−１）＋１＝２^k−１

より，ＱＥＤ．

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