ｙ^3＝ｘ^2＋２

の正整数による唯一の解は（ｘ，ｙ）＝（５，３）であるというフェルマーの主張に対して，仮想的な整数を導入して，以下のような証明を与えたのはオイラーである．

（証）ｘ^2＋２＝（ｘ＋ｉ√２）（ｘ−ｉ√２）

（ｘ＋ｉ√２）＝（ａ＋ｂｉ√２）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ√２−６ａｂ^2−２ｂ^3ｉ√２

＝（ａ^3−６ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ−２ｂ^3）ｉ√２

＝ａ（ａ^2−６ｂ^2）＋ｂ（３ａ^2−２ｂ^2）ｉ√２

（ｘ＋ｉ√２）→ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝ｘ，ｂ（３ａ^2−２ｂ^2）＝１

ｂ＝±１とすると，（３ａ^2−２）＝±１→ｂ＝１のときａ＝±１

（１，１）→ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝−５＝ｘ　　　（ＮＧ）

（−１，１）→−ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝５＝ｘ　　（ＯＫ）

さらにｙ＝３．よって，フェルマーの主張が示された．

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　この問題は

　　ａ＝５＋ｉ√２，｜ａ｜^2＝２７

　　ｂ＝１＋ｉ√２，｜ｂ｜^2＝５

　　５＋ｉ√２＝（１＋ｉ√２）ｑ＋ｒ，｜ｒ｜^2＜５

すなわち，１＋ｉ√２の倍数からなる長方格子点

　　０，１＋ｉ√２，２（１＋ｉ√２），３（１＋ｉ√２），・・・

　　３，（２−ｉ√２）（１＋ｉ√２），・・・

　　６，・・・

から５＋ｉ√２に最も近い格子点を選ぶという問題となっている．

　答えは（２−ｉ√２）（１＋ｉ√２）＝４＋ｉ√２であって，ｑ＝（２−ｉ√２），ｒ＝１が得られる．｜ｒ｜＜｜ｂ｜が成り立つ．

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