［１］ｙ^3＝ｘ^2＋３

１２とｘ^2＋３の最大公約数が１のとき，

ｘ＋ｉ√３＝（ａ＋ｉｂ√３）^3

ｘ^2＋３＝（ｘ＋ｉ√３）（ｘ−ｉ√３）

（ｘ＋ｉ√３）＝（ａ＋ｂｉ√３）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ√３−９ａｂ^2−３ｂ^3ｉ√３

＝（ａ^3−９ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ−３ｂ^3）ｉ√３

＝ａ（ａ^2−９ｂ^2）＋３ｂ（ａ^2−ｂ^2）ｉ√３

（ｘ＋ｉ√３）→ａ（ａ^2−９ｂ^2）＝ｘ，３ｂ（ａ^2−ｂ^2）＝１　　（ＮＧ）

最大公約数が２の場合，ｘ^2＋３＝２　（ＮＧ）

最大公約数が３の場合，ｘ^2＋３＝３　（ＮＧ）

最大公約数が４の場合，ｘ^2＋３＝４　（ＮＧ）

最大公約数が６の場合，ｘ^2＋３＝６　（ＮＧ）

最大公約数が１２の場合，ｘ^2＋３＝１２　（ＮＧ）

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［２］ｙ^3＝ｘ^2＋１

４とｘ^2＋１の最大公約数が１のとき，

ｘ＋ｉ＝（ａ＋ｂｉ）^3

ｘ^2＋１＝（ｘ＋ｉ）（ｘ−ｉ）

（ｘ＋ｉ）＝（ａ＋ｂｉ）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ−３ａｂ^2−ｂ^3ｉ

＝（ａ^3−３ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ−ｂ^3）ｉ

＝ａ（ａ^2−３ｂ^2）＋ｂ（３ａ^2−ｂ^2）ｉ

（ｘ＋ｉ）→ａ（ａ^2−３ｂ^2）＝ｘ，ｂ（３ａ^2−ｂ^2）＝１

ｂ＝±１とすると，（３ａ^2−１）＝±１→ａ＝０→ｘ＝０，ｙ＝０

（３ａ^2−ｂ^2）＝±１とすると，ｂ＝±１→ａ＝０→ｘ＝０，ｙ＝０

最大公約数が２の場合，ｘ^2＋１＝２　（ＮＧ）

最大公約数が４の場合，ｘ^2＋１＝２　（ＮＧ）

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［３］ｙ^3＝ｘ^2

［４］ｙ^3＝ｘ^2−１＝（ｘ＋１）（ｘ−１）

（ｘ＋１）と（ｘ−１）の最大公約数が１のとき，ｘ＝３

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