ケイリ−・バカラックの定理とは，２つの３次曲線Ａ，Ｂが９個の交点をもつとき，３次曲線Ｃがそのうちの８点を通るならば，残りの１点も通るというものである．

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【１】代数曲面の分類

　空間内の２次曲面の分類もよく知られていて，２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０は楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円放物面，双曲放物面のどれかに分類されます．２次曲面には無数に多くの直線がのっているものがあり，その場合には線織面と呼ばれます．２次曲面が直線の族を含んでいるという事実は建築でも実際に応用されますが，カーブを描いた曲面をコンクリートを使って建設できるということは明らかに利点です．

　一方，３次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０には，高々２７本の直線しか含まないことが証明されています（サルモン，１８８４年）．１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）です．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいません．

　代数曲線は，種数を用いて，有理曲線，楕円曲線，超楕円曲線などに分類されましたが，（極小）代数曲面は，種数と小平次元，不正則数の組合せを使って分類され，Ｋ３曲面，エンリケス曲面，アーベル曲面，楕円曲面，超楕円曲面などに分類されることが示されています．

　このようにして，１９００年当時まで，５次曲線までと３次曲面までのトポロジカルな分類は既に知られていたようです．

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