９個の点で交わる２つの３次曲線（cubics）があり，それらの中の６個の点は２次曲線（quadrics）上にあると仮定する．すると残り３個の交点はひとつの直線上にある．パスカルの定理はこれより得られる．

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【１】パップスの定理

　円錐曲線が既約でない場合（２次曲線が２つの直線の和集合である場合）にも成り立つといわけで，これを発見したのもパップスである．パスカルの定理の特別な場合は古代に置いても知られていたと言うわけである．

　パップスの定理「直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．」

　すなわち，２直線上にすべての頂点がのっている６角形の反対側の位置にある辺同士の交点は同一直線上にあるというのが，射影幾何学におけるパップスの定理である．

　直線は無限半径をもつ円であるが，２本の直線からなる退化した円錐曲線を考えれば容易にこの定理にたどりつくであろう．パップスの定理はパスカルが２次曲線について発見した定理の特別な場合になっているので，パスカル・パップスの定理ともいわれる．

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【２】パスカルの定理

　通常，パスカルの定理は次のように述べられる．

「円錐曲線すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．」

　パスカルの定理はパップスの定理の一般化になっている．楕円を限りなく大きくすると，楕円は２直線になるからである．

　パスカルの定理の逆は「６角形の向かい合っている３辺の３組の交点が一直線上にあるとする．このとき，６角形の頂点は１つの２次曲線上にある．」

　パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対にある共点定理「円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる」が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．

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【３】ケイリ−・バカラックの定理／Ｍ．ネーターの定理

　パスカルの定理自体もより一般的な定理の特別な場合である．その定理は３次曲線に関するもので，たとえば，楕円曲線が群構造をもつことはケイリ−・バカラックの定理やＭ．ネーターの定理をもとに説明される．

　２つの３次曲線は９個の異なる点で交わり，別の３次曲線がこれらの交点の８個を含んでいるならば，それは９個すべての点を含む．これはケイリ−・バカラックの定理の特別な場合で，冒頭の「９個の点で交わる２つの３次曲線（cubics）があり，それらの中の６個の点は２次曲線（quadrics）上にあると仮定する．すると残り３個の交点はひとつの直線上にある．」も導くことができる．パスカルの定理はこれより得られる．

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