【１】平行多面体

　フェドロフの平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，平行辺（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），平行面から構成されている多面体である．フェドロフの平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことが証明されている（１８８５年）．

　平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の３次元への射影になっている．平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる．

　平行多面体５種は６次元立方体の投影図から適当に線を間引いくことによって得ることができるのである．

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【２】平行多面体の二面角

　　立方体：９０°

　　６角柱：９０°，１２０°

　　菱形１２面体：１２０°

　　長菱形１２面体：９０°，１２０°

いずれも３６０°の整数分の１である．

　切頂８面体の正六角形面間の二面角は，正八面体の二面角に等しく，

　　ｃｏｓδ6＝−１／３　→　δ6＝１０９．５°

これより，正方形面・正六角形面間の二面角は

　　δ4＝π−δ6／２＝（１８０−１０９．５／２）°

　切頂８面体は平行多面体の家族の元祖であるが，いろいろな意味で異端児である．

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