integral(0,∞)x^n/[e^x-1]=Γ(n+1)ζ(n+1)

ζ(z)=Σ1/n^z

φ(z)=Σ(-1)^(n-1)/n^z

ξ(z)=Σ1/(2n-1)^z

ψ(z)=Σ(-1)^(n-1)/(2n-1)^z

と定義します。

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xcotx=1-2Σζ(2m)x^2m/π^2m

xcotx=Σ(0,∞)(-1)^mB2m・(2x)^2m/(2m)!ですから

ζ(2m)=1/2・(2π)^2m/(2m)!・(-1)^m-1B2m

ζ(2)=π^2/6,ζ(4)=π^4/90,ζ(6)=π^6/645,ζ(8)=π^8/9450,ζ(10)=π^10/93555

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φ(z)=(1-2^(1-z))ζ(z)

φ(1)=log2

x/sinx=1+2Σφ(2m)x^2m/π^2m

x/sinx=1+2Σ(0,∞)(1-2^2m-1)(-1)^mB2m(x)^2m/(2m)!ですから

φ(2m)=(1-2^(1-2m)(2π)^2m/2(2m)!・(-1)^m-1B2m

φ(0)=1/2,ζ(0)=-1/2

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ξ(z)=(1-2^(-z))ζ(z)

xtanx=2Σξ(2m)(2x)^2m/π^2m

xtanx=Σ(0,∞)(1-2^2m)(-1)^mB2m(2x)^2m/(2m)!ですから

ξ(2m)=(1-2^(-2m))(2π)^2m/2(2m)!・(-1)^m-1B2m

ξ(0)=0

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ψ(1)=Σ(-1)^(n)/(2n+1)=arctan(1)=π/4

1/cosx=2Σψ(2m+1)(2/π)^(2m+1)・x^2m

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　１＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・

の値はζ（２）＝Σ１／ｎ^2から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

　＝（１＋１／２^2＋１／４^2＋・・・）（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

　＝１／（１−１／４）・（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

　１＋１／３^3＋１／５^3＋１／７^3＋・・・

の値はζ（3）＝Σ１／ｎ^3 から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^3＋１／３^3＋１／４^3＋・・・

　＝（１＋１／２^3＋１／４^3＋・・・）（１＋１／３^3＋１／５^3＋・・・）

　＝１／（１−１／８）・（１＋１／３^3＋１／５^3＋・・・）

より，分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

　　{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）

　さらに，

　　１／１^s−１／２^s＋１／３^s−１／４^s＋・・・

　＝２（１／１^s＋１／３^s＋１／５^s＋１／７^s＋・・・）−（１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）

より，＋，−が交互に出現すると一般式

　　{1-2^(1ｰs)}ζ（ｓ）

を得ることができます．

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