［１］ｎ次元正単体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，双対を考えて，ｎ−ｋ次元胞内のｎ−ｍ次元胞と同数，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

です．

　ｎが小さい例で検してみると

［ａ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝１→（３，２）＝３　　　（ＯＫ）

［ｂ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝２→（３，１）＝３　　　（ＯＫ）

［ｃ］ｎ＝３，ｋ＝１，ｍ＝２→（２，１）＝２　　　（ＯＫ）

［ｄ］ｋ＝ｎ−２，ｍ＝ｎ−１→（２，１）＝２　　　（ＯＫ）

　同様に，

［２］ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

です．

　ｎが小さい例で検してみると

［ａ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝１→２（２，１）＝４　　　（ＯＫ）

［ｂ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝２→４（２，２）＝４　　　（ＯＫ）

［ｃ］ｎ＝３，ｋ＝１，ｍ＝２→２（１，１）＝２　　　（ＯＫ）

［ｄ］ｋ＝ｎ−２，ｍ＝ｎ−１→２（１，１）＝２　　　（ＯＫ）

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　　超立方体の面数公式　　　正軸体の面数公式

　　　　　　ｋ　　　　　→　　ｎ−ｋ−１

　　　　ｎ−ｋ−１　　　←　　　　ｋ

と変換しますが，その際，正軸体と超立方体の基本単体は同じ球面単体として投影されるのですが，ラベルの付け方は逆になります．

　　正軸体：　０，　　１，　　２，・・，　　　ｋ，・・，ｎ−２，ｎ−１

　　立方体：ｎ−１，ｎ−２，ｎ−３，・・，ｎ−ｋ−１，・・，１，　０

　ｎ次元正単体のｋ次元胞の数はｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）ですから，ｍ次元胞に含まれるｋ次元胞の数は（ｍ＋１，ｋ＋１）です．双対を考えて，ｍ＜ｋのときは，ｋ次元正単体の含むｍ次元胞の数は

　　（ｋ＋１，ｍ＋１）

個になります．

　ここで，

　　　　　　ｋ　　　　　→　　ｎ−ｋ−１

　　　　　　ｍ　　　　　→　　ｎ−ｍ−１

と置き換えると，

［１］ｎ次元正単体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，双対を考えて，ｎ−ｋ次元胞内のｎ−ｍ次元胞と同数，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

が得られます．

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　また，ｎ次元正軸体については，ｆk＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１），ｎ次元超立方体では，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．正軸体のｍ次元胞に含まれるｋ次元胞の数は２^(k+1)（ｍ，ｋ＋１）です．双対を考えて，ｍ＜ｋのときは，ｋ次元正立方体の含むｍ次元胞の数は

　　２^(k-m)（ｋ，ｍ）

個になります．

　ここで，

　　　　　　ｋ　　　　　→　　ｎ−ｋ−１

　　　　　　ｍ　　　　　→　　ｎ−ｍ−１

と置き換えると，

［２］ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｎ−１−ｍ）＝２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

です．

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