［Ｑ］１辺の長さが√２の正四面体の体積を求めよ．

［Ａ］正攻法（馬鹿正直）に求めてもよいが，１辺の長さが１の立方体に内接させると

　　Ｖ＝１−４／６＝１／３

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　多面体の求積では，角錐分解以外にも

［１］等積変形・変身させる

［２］空間充填を利用する

［３］平行六面体に分解する

などの方法が考えられる．

［１］変形・変身の利用

　たとえば，菱形１２面体を分解すると立方体を２個作ることができる．実際，菱形１２面体の体積は，その頂点をうまく選んでできる内接立方体の２倍である．

　逆に，２個の切頂八面体を分解すると立方体を作ることができる．このことから切頂八面体の体積は，外接立方体の１／２倍である．

［２］空間充填の利用

　Ｊ91の体積を求めよという問題が出たら，多くのひとは途方に暮れるだろうが，それほど絶望的な問題ではない．正１２面体と立方体とＪ91による空間充填を利用するのである．

　立方体の体積をａ^3とすると

　　正１２面体の体積は（１５＋７√５）／４・ａ^3

このことがわかれば

　　Ｊ91の体積は（１７＋９√５）／１２・ａ^3

になることは容易に求められるのである．

［３］平行六面体分解

　２次の行列式の絶対値は平行四辺形の面積，３次の行列式の絶対値は平行六面体の体積になる．

　一般に，ｎ次行列式は平行２ｎ面体の符号つき体積を表す．このことを利用したミンコフスキー和の計算結果についてまとめておきたい．以下に辺の長さを１に規格化した体積を掲げる．

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【１】平行多面体

　立方体：　１

　正六角柱：　３√３／２

　切頂八面体：　８√２

　菱形十二面体：　１６√３／９

　長菱形十二面体：　１６√３／９＋８／３

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【２】黄金菱形多面体

　菱形３０面体：　４τ｛（５＋√５）／２｝^1/2

　菱形２０面体：　２τ｛（５＋√５）／２｝^1/2

　菱形１２面体（第２種）：　４τ／５｛（５＋√５）／２｝^1/2

　扁長菱形６面体：　２／５｛（５＋√５）／２｝^1/2

　扁平菱形６面体：　２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2

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