双三日月双丸塔（Ｎ91）は１４個の頂点と８枚の正三角形，２枚の正方形，４枚の正五角形からなる分解不可能なザルガラー多面体である．重月形重回転体として知られており，菱形１２面体と同じ２回回転対称性をもっている．これはこれでなかなか趣きのある多面体である．Ｎ91の正三角形面を合わせるように繋いでいくと，立方体と正十二面体の隙間が現れる．すなわち，Ｎ91・立方体・正十二面体の３種類の立体で空間充填することが可能である．今回のコラムではこのことを利用して１辺の長さがａのＮ91の体積を求めてみることにする．

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【１】構成比

　３種類の立体の配置は，正１２面体を立方格子の体心においた場合，８つの頂点に立方体，１２の辺心にＮ91です．このことからＮ91・立方体・正十二面体の構成比は１２／４：８／８：１＝３：１：１となることがわかります．

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【２】体積比

　各正多面体の１辺の長さをａとして，正多面体の体積を記すと

正四面体　　　　ａ^3√２／１２

正六面体　　　　ａ^3

正八面体　　　　ａ^3√２／３

正１２面体　　　ａ^3（１５＋７√５）／４

正２０面体　　　ａ^3（１５＋５√５）／１２

　正１２面体の場合，もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄ（０≦ｄ≦１）とすると，

　　ｄ＝（３−√５）／２，ａ＝２ｄ＝３−√５

　　Ｖ12＝ａ^3（１５＋７√５）／４

また，立方体の体積はＶ6＝ａ^3となります．もとの立方体の体積は２^3ですから，Ｎ91３個分の体積は

　　３Ｖ＝８−Ｖ12−Ｖ6

　　　　＝（８／ａ^3−（１９＋７√５）／４）ａ^3

　　　　＝ａ^3（１７＋９√５）／４

となります．

　　　　　体積

Ｎ91　　　ａ^3（１７＋９√５）／１２

　したがって，空間充填における３種類の立体（Ｎ91・立方体・正十二面体）の体積比は

　　（１７＋９√５）／４：１：（１５＋７√５）／４

になることがわかります．

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