［Ｑ］ａグラムとｂグラムのおもりがたくさんあるとき，どんな重さを計ることができるのだろうか？

　この問題の解はよく知られていて，（その６５）では以下ようなの解を与えたが，今回のコラムでは証明を与えてみたい．

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【１】解

［Ａ］ｄ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ）とすると

［１］ａｘ＋ｂｙ＝ｄは整数解をもつ．

［２］ａｘ＋ｂｙ＝ｎが整数解をもつならな，ｎはｄの倍数である．

　すなわち，計れる重さの最小数が最大公約数であって，その倍数全体を計ることができるのである，ただし，おもりの選び方は１通りでないことに注意．たとえば，ａ＝２２，ｂ＝１５の場合，

　　６＝２２×（−１２）＋１５×１８＝２２×３＋１５×（−４）

　一般に１組の特殊解を（ｘ0，ｙ0）とすると，一般解は

　　ｘ＝ｘ0−ｂｔ／ｄ，ｙ＝ｙ0＋ａｔ／ｄ

で与えられる．もし，使用するおもりの数を最小にしたいならば，

　　｜ｘ｛＋｜ｙ｜＝｜ｘ0−ｂｔ／ｄ｜＋｜ｙ0＋ａｔ／ｄ｜

の最小値を求めればよい．

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【２】証明

　ａｘ＋ｂｙをｄで割ったときの余りは，ａｘ’＋ｂｙ’の形をしていて，しかもｄよりも小さいのであるから，０でなければならない．ゆえにｄはすべてのａｘ＋ｂｙの形の数の約数である．とくに，ｄはａ＝ａ・１＋ｂ／０およびｂ＝ａ・０＋ｂ・１の公約数である．一方，ｄはｘａ，ｂの任意の公約数で割り切れる．ゆえにｄ＝（ａ，ｂ）．

　また，ａｍｘ＋ｂｍｙという形で最小の正の数はａｍｘ0＋ｂｍｙ0で，（ａ／ｄ）ｘ＋（ｂ／ｄ）ｙの形で最小の正の数は（ａ／ｄ）ｘ0＋（ｂ／ｄ）ｙ0である．

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【３】結果の拡張

　これらの結果の拡張は容易で，

［Ｑ］ａグラムとｂグラムとｃグラムのおもりがたくさんあるとき，どんな重さを計ることができるのだろうか？

という問題では

［Ａ］ｄ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ，ｃ）とすると

［１］ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄは整数解をもつ．

［２］ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｎが整数解をもつならな，ｎはｄの倍数である．

すなわち，２種類のおもりの場合と同様の結果が成立する．

　さらに，ｄ＝ａｘ＋ｂｙ，ｄ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚのみならず，

　　ｄ＝ａｘ＋ｂｙ＋・・・＋ｆｕ

の形の数に対しても一般化することができる．

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［参］天秤の問題では，

　　１，３，３^2，３^3，３^4，・・・，３^r

のおもりによって，１から（３^(r+1)−１）／２グラムまでのすべての整数の重さを量ることができ，しかもそれが唯一の方法であるという．

　一般に，母関数に関する美しい恒等式

　　Π（１＋ｘ^(3^n)＋ｘ^-(3^n)）＝Σｘ^n

が成り立つ．

　ここでは，ａn，ａn-1，・・・，ａ1，ａ0が互いに独立に−１，０，１を動くとき，

　　Ｐ＝３^nａn＋３^n-1ａn-1＋・・・＋３ａ1＋ａ0

によって，（２Ｈ＋１）個の数

　　−Ｈ，・・・，−１，０，１，・・・，Ｈ

　　　（Ｈ＝３^n+1−１）／（３−１））

が一意に表示されることを証明する．

（Ａ）Ｐ＝３^nａn＋３^n-1ａn-1＋・・・＋３ａ1＋ａ0に

　　Ｈ＝３^n＋３^n-1＋・・・＋３＋１

を加えれば，ａn，ａn-1，・・・，ａ1，ａ0に０，１，２という値をとらせたときの数，すなわち，０，１，・・・，２Ｈのすべてが得られる．

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