天秤の両方の皿を使って，ｎグラム（ｎは任意の正の整数）のものを量る問題では，

　　１，２，２^2，２^3，２^4，・・・

グラムでなく

　　１，３，３^2，３^3，３^4，・・・

グラムのおもりを使えばよいことはよく知られている．

　たとえば，１０グラムは同じ皿に１グラムと９グラムのおもりを置けばはかることができる（１０＝１＋３^2），７３グラムは同じ皿に９グラムのおもりを置けば１グラムと８１グラムのおもりを使ってはかることができる（７３＋３^2＝１＋３^4）．

　もっと詳しくいうと，

　　１，３，３^2，３^3，３^4，・・・，３^r

のおもりによって，１から（３^(r+1)−１）／２グラムまでのすべての整数の重さを量ることができ，しかもそれが唯一の方法であるという．

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　任意の正の整数ｎに対して，そのｎを異なる３の累乗の和と差で表す問題であるが，２進数のように数字２を許さない代わりに，数字−１を認めている．

　母関数を使ってアプローチすると，

　　ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ＋ｘ^-1）（１＋ｘ^3＋ｘ^-3）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＋ｘ^-1＋ｘ^-2＋ｘ^-3＋ｘ^-4

を得る．これは１グラムと３グラムのおもりによって４グラム以下の任意の正（負も）の整数を量ることができ，かつ，係数がすべて１であるのでその方法が１通りであることを示している．

　同様に

　　ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ＋ｘ^-1）（１＋ｘ^3＋ｘ^-3）（１＋ｘ^9＋ｘ^-9）＝（ｘ^27−１）／ｘ^13（ｘ−１）＝ｘ^13＋ｘ^12＋・・・＋ｘ＋１＋ｘ^-1＋・・・＋ｘ^-12＋ｘ^-13

は１グラムと３グラムと９グラムのおもりによって１３グラム以下の任意の正（負も）の整数を量ることができ，かつ，係数がすべて１であるのでその方法が１通りであることを示している．

　　ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ＋ｘ^-1）（１＋ｘ^3＋ｘ^-3）（１＋ｘ^9＋ｘ^-9）（１＋ｘ^27＋ｘ^-27）＝（ｘ^81−１）／ｘ^40（ｘ−１）＝ｘ^40＋ｘ^39＋・・・＋ｘ＋１＋ｘ^-1＋・・・＋ｘ^-39＋ｘ^-40

　一般に，母関数に関する美しい恒等式

　　Π（１＋ｘ^(3^n)＋ｘ^-(3^n)）＝Σｘ^n

が成り立つ．

　［参］ポール・ツァイツ「エレガントな問題解決」オライリージャパン

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