４０個の缶ビールを８×５の箱に詰め込む．一般にｍｎ個の缶ビールをｍ×ｎの箱に詰め込む．ｍ＝１であるとｍｎは素数

　　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，・・・

も表現できるが，ｍ＞１ならは合成数しか表現できない．たとえば，１７個を長方形に配列することはできないのである．

　次に並べ方を変えてみる．８×５の箱に缶ビールを詰め込む際，１行目に５個，２行目に４個，３行目に５個という風に，六角形格子状に詰め込むを９行配列させることができるようになり，同じ箱に

　　５＋４＋５＋４＋５＋４＋５＋４＋５＝４１

個の缶ビールを詰め込むことができる．

　この詰め込み方では素数も表現できることがわかるだろう．他の例では

　　４＋３＋４＝１１　　（素数）

　　６＋５＋６＋５＋６＋５＋６＋５＋６＝５０　　（非素数）

　このように奇数（偶数）から始まり，次に偶数（奇数）が並び，それを交互に繰り替えし，最後は偶数（奇数）で終わるパターンは，すべての整数を表現することができるでしょうか？

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　ｍ＝２ｋ＋１とすると，

　　ｎ（ｋ＋１）＋（ｎ−１）ｋ＝２ｎｋ＋ｎ−ｋ

　２ｎｋは偶数を表現するが，ｎ−ｋはすべての整数を表現できるだろうから，ん＞１，ｋ＞１という制限をつければ，無理であることがわかるだろう．

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［補］奇数（偶数）から始まり，偶数（奇数）で終わる交互の配列は，古代ケルトのモチーフにもなっているパターンですが，

　　４＋３＋４＝１１　　（素数）

の場合は全体を覆うのに２本のひもが必要ですが，

　　６＋５＋６＋５＋６＋５＋６＋５＋６＝５０　　（非素数）

のでは１本で済みます．

　同じパターンでも，リサージュ図形の場合はどちらもひとつの閉曲線で覆うことができるのですが，・・・

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