［Ｑ］目盛りのついていないマスで，１からｎまですべてはかれるようにするにはどうしたらいいか？

　ｎ＝４１が可能な集合として，

　　ｔ＝｛１２，１３，１６，２５，２８，２９，４１｝

がある．

　その差分集合は

　　ｄ＝｛１２，１３−１２，１６−１３，２５−１６，２８−２５，２９−２８，４１−２９｝

＝｛１２，１，３，９，３，１，１２｝

＝｛１，１，３，３，９，１２，１２｝

であるが，どのような原理になっているのだろうか？

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　　ｔ1≦ｔ2≦ｔ3とすると，一般に，

［１］ｔ1≦ｔ2≦ｔ3≦ｔ1＋ｔ2≦ｔ1＋ｔ3≦ｔ2＋ｔ3≦ｔ1＋ｔ2＋ｔ3

か

［２］ｔ1≦ｔ2≦ｔ1＋ｔ2≦ｔ3≦ｔ1＋ｔ3≦ｔ2＋ｔ3≦ｔ1＋ｔ2＋ｔ3

が成り立つ．

　差分集合はそれぞれ

［１］｛ｔ1，ｔ2−ｔ1，ｔ3−ｔ2，ｔ1＋ｔ2−ｔ3，ｔ3−ｔ1，ｔ2−ｔ1，ｔ1｝

［２］｛ｔ1，ｔ2−ｔ1，ｔ1，ｔ3−ｔ2−ｔ1，ｔ1，ｔ2−ｔ1，ｔ1｝

である．

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［１］の場合

　　ｄ1＝ｔ1，ｄ2＝ｔ2−ｔ1，ｄ3＝ｔ3−ｔ2，ｄ4＝ｔ1＋ｔ2−ｔ3＝ｄ1−ｄ3

とするとｄ1，ｄ2，ｄ3は２回，ｄ4は１回現れ，同時に０にはならない．

　　ｗ1，ｗ2，ｗ3＝｛０，１，２｝，ｗ4＝｛０，１｝

　　Ｕ（ｗ1，ｗ2，ｗ3，ｗ4）＝ｗ1ｄ1＋ｗ2ｄ2＋ｗ3ｄ3＋ｗ4ｄ4

は３・３・３・２−１＝５３通りあるか，１次独立ではない．

　　ｗ1ｄ1＋ｗ2ｄ2＋ｗ3ｄ3＋ｗ4（ｄ1−ｄ3）

＝（ｗ1＋ｗ4）ｄ1＋ｗ2ｄ2＋（ｗ3−ｗ4）ｄ3

において，ｗ4＝１の場合を考えると

　　Ｕ（ｗ1，ｗ2，ｗ3，ｗ4）＝Ｕ（ｗ1＋１，ｗ2，ｗ3−１，１）

より，値が等しくなるのが，２・３・２・１＝１２通りあることになる．

　したがって，５３−１２＝４１まですべてはかれるようにすることができる．

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［２］の場合

　　ｄ1＝ｔ1，ｄ2＝ｔ2−ｔ1，ｄ3＝ｔ3−ｔ2−ｔ1

とするとｄ1は４回，ｄ2は２回現れ，ｄ3は１回現れ，同時に０にはならない．

　　ｗ1＝｛０，１，２，３，４｝，ｗ2＝｛０，１，２｝，ｗ3＝（０，１｝

　　ｗ1ｄ1＋ｗ2ｄ2＋ｗ3ｄ3

は５・３・２−１＝２９通りあり，２９まですべてはかれるようにすることができる．

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